代数示例

$y = (x^{3} + 5 x - 7) \tan (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3} + 5 x - 7$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5 x - 7]$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 5 x - 7]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} + 5 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2} + 5 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2} + 5 + 0)$

解题步骤 3.7

将 $3 x^{2} + 5$ 和 $0$ 相加。

$(x^{3} + 5 x - 7) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2} + 5)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x^{3} \sec^{2} (x) + 5 x \sec^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2} + 5)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$x^{3} \sec^{2} (x) + 5 x \sec^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2}) + \tan (x) \cdot 5$

解题步骤 4.3

将 $5$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$x^{3} \sec^{2} (x) + 5 x \sec^{2} (x) - 7 \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2}) + 5 \tan (x)$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$x^{3} \sec^{2} (x) + 5 x \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - 7 \sec^{2} (x) + 5 \tan (x)$

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