代数示例

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \tan^{-1} (y)$ 且 $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$\tan^{-1} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

化简。

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.4.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.8

化简分子。

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解题步骤 4.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.12

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.13

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

解题步骤 4.14

组合 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ 和 $x'$ 。

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ 。

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

解题步骤 6.2

两边同时乘以 $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 。

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

化简 $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

约去公因数。

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

解题步骤 6.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

解题步骤 6.3.1.1.3

约去 $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

解题步骤 6.3.1.1.3.2

重写表达式。

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ 乘以 $1$ 。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

解题步骤 6.3.2.1.2

运用分配律。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 6.3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 6.3.2.1.4

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.4.4

在公分母上合并分子。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.4.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

代数 示例

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