代数示例

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (y) = 10 x^{3} + 7$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $10 x^{3} + 7$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.1.3

使用 $10 x^{3} + 7$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

解题步骤 3.6.2

根据加法法则， $10 x^{3} + 7$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7]$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

解题步骤 3.6.3

因为 $10$ 对于 $y$ 是常数，所以 $10 x^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $10 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{3}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

解题步骤 3.7.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

解题步骤 3.8

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 (x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

解题步骤 3.9

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [7])$

解题步骤 3.10

因为 $7$ 对于 $y$ 是常数，所以 $7$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + 0)$

解题步骤 3.11

化简项。

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解题步骤 3.11.1

将 $30 x^{2} x'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x')$

解题步骤 3.11.2

组合 $30$ 和 $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} (x^{2} x')$

解题步骤 3.11.3

将 $3$ 乘以 $30$ 。

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (x^{2} x')$

解题步骤 3.11.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x'$

解题步骤 3.11.5

组合 $\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2}$ 和 $x'$ 。

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2}$

解题步骤 3.11.6

从 $x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2}$

解题步骤 3.12

约去公因数。

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解题步骤 3.12.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 (1)}$

解题步骤 3.12.2

约去公因数。

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.12.3

重写表达式。

$\frac{x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{1}$

解题步骤 3.12.4

用 $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ 除以 $1$ 。

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$

解题步骤 3.13

重新排序 $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ 的因式。

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 。

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

解题步骤 5.2

将 $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 中的每一项除以 $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 中的每一项都除以 $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.4

重写表达式。

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.5

约去公因数。

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.6

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

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