代数示例

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} ((u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = u^{3} - {u'}^{3}$ 且 $g (z) = e^{u^{3} + {u'}^{3}}$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) \frac{d}{d z} [e^{u^{3} + {u'}^{3}}] + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = e^{z}$ 且 $g (z) = u^{3} + {u'}^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $u^{3} + {u'}^{3}$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $u^{3} + {u'}^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) (e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $u^{3} + {u'}^{3}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = z^{3}$ 且 $g (z) = u$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $u$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.4.3

使用 $u$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d z} [u]$ 重写为 $u'$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

因为 ${u'}^{3}$ 对于 $z$ 是常数，所以 ${u'}^{3}$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + 0) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.6.2

将 $3 u^{2} u'$ 和 $0$ 相加。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

解题步骤 3.6.3

根据加法法则， $u^{3} - {u'}^{3}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}]$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = z^{3}$ 且 $g (z) = u$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $u$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

解题步骤 3.7.3

使用 $u$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

解题步骤 3.8

将 $\frac{d}{d z} [u]$ 重写为 $u'$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

解题步骤 3.9

因为 $- {u'}^{3}$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- {u'}^{3}$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + 0)$

解题步骤 3.10

将 $3 u^{2} u'$ 和 $0$ 相加。

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

运用分配律。

$(u^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}}) (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

解题步骤 3.11.2

运用分配律。

$u^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

解题步骤 3.11.3

合并项。

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解题步骤 3.11.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u^{2 + 3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

解题步骤 3.11.3.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$u^{5} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

解题步骤 3.11.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$u^{5} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - 3 {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

解题步骤 3.11.4

重新排序项。

$3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u'$

解题步骤 5

将方程重写为 $3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u' = 1$ 。

$3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u' = 1$

解题步骤 6

使用 $\frac{d u}{d z}$ 替换 $u'$ 。

$\frac{d u}{d z} = 1$

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