代数示例

$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $- \frac{1}{16}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $- \frac{1}{2}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 和 $r = - \frac{1}{2}$ 的值。

$a_{n} = \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

解题步骤 4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

解题步骤 4.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

解题步骤 5

一的任意次幂都为一。

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})$

解题步骤 6

组合 ${(- 1)}^{n - 1}$ 和 $\frac{1}{2^{n - 1}}$ 。

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

解题步骤 7

合并。

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

解题步骤 8

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{n - 1}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $2$ 乘以 $2^{n - 1}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

解题步骤 8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

解题步骤 8.2

合并 $1 + n - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 8.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

解题步骤 8.2.2

将 $n$ 和 $0$ 相加。

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

解题步骤 9

将 ${(- 1)}^{n - 1}$ 乘以 $1$ 。

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

解题步骤 10

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 11

使用已知值替换变量以求 $S_{4}$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.3

将 $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.4

一的任意次幂都为一。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.8

在公分母上合并分子。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.9

化简分子。

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解题步骤 12.9.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.9.2

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 12.10

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 13

化简分母。

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解题步骤 13.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 13.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 13.3

在公分母上合并分子。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 13.4

化简分子。

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解题步骤 13.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 2}{2}}$

解题步骤 13.4.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 3}{2}}$

解题步骤 13.5

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 14

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}}$

解题步骤 15

将分子乘以分母的倒数。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3})$

解题步骤 16

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 (5)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

解题步骤 16.2

约去公因数。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 5}{16} \cdot \frac{2}{3})$

解题步骤 16.3

重写表达式。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{16} \cdot 2)$

解题步骤 17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 (8)} \cdot 2)$

解题步骤 17.2

约去公因数。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

解题步骤 17.3

重写表达式。

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

解题步骤 18

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$ 。

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解题步骤 18.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5}{8}$ 。

$S_{4} = \frac{5}{2 \cdot 8}$

解题步骤 18.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$S_{4} = \frac{5}{16}$

代数 示例

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