代数示例

$\log_{2} (\sqrt[3]{x}) (x + 1)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (x + 1)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 3.4.2

将 $\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ 乘以 $1$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{2} (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.2

$\log_{2} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (2)}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 12

将 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} \ln (2))}$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} \ln (2) x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 14

化简分母。

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解题步骤 14.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 14.1.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) \ln (2)}$

解题步骤 14.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \ln (2)}$

解题步骤 14.1.3

在公分母上合并分子。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} \ln (2)}$

解题步骤 14.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}} \ln (2)}$

解题步骤 14.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{1} \ln (2)}$

解题步骤 14.2

化简 $3 x^{1} \ln (2)$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x \ln (2)}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + x \frac{1}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

解题步骤 15.2

合并项。

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解题步骤 15.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

解题步骤 15.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.1

约去公因数。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

解题步骤 15.2.2.2

重写表达式。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

解题步骤 15.2.3

将 $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ 乘以 $1$ 。

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + \frac{1}{3 x \ln (2)}$

解题步骤 15.3

重新排序项。

$\frac{1}{3 x \ln (2)} + \log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)}$

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