代数示例

$g (x) = \frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 9}$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 9}$

解题步骤 2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 3.1

通过代入 $- x$ 替换 $g (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $g (- x)$ 。

$g (- x) = \frac{((- x) + 4) ((- x) - 4)}{((- x) + 3) ((- x) - 3)}$

解题步骤 3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{(- (x) + 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.3

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$g (- x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.4

从 $- (x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{- (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.5

将 $- (x - 4)$ 重写为 $- 1 (x - 4)$ 。

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.7

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.8

从 $- (x) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

将 $- (x + 4)$ 重写为 $- 1 (x + 4)$ 。

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- 1 (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{1 (x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.9.3

将 $x - 4$ 乘以 $1$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.10

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) + 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.11

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) - 1 \cdot - 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.12

从 $- (x) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- (x - 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.13

将 $- (x - 3)$ 重写为 $- 1 (x - 3)$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- x - 3)}$

解题步骤 3.14

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 3)}$

解题步骤 3.15

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 3.16

从 $- (x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x + 3))}$

解题步骤 3.17

化简表达式。

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解题步骤 3.17.1

将 $- (x + 3)$ 重写为 $- 1 (x + 3)$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- 1 (x + 3))}$

解题步骤 3.17.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{1 (x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 3.17.3

将 $x - 3$ 乘以 $1$ 。

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 4.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 4.2

因为 $\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ ，所以该函数是偶函数。

该函数为偶函数

解题步骤 5

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 6

因为函数不是偶函数，所以关于 y 轴对称。

Y 轴对称

解题步骤 7

代数 示例

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