代数示例

$f (x) = \frac{x^{2} - x - 6}{x - 6}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 6}$

解题步骤 3

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 3.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = \frac{((- x) - 3) ((- x) + 2)}{(- x) - 6}$

解题步骤 3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{(- (x) - 3) (- x + 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.3

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$f (- x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 3) (- x + 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.4

从 $- (x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{- (x + 3) (- x + 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.5

将 $- (x + 3)$ 重写为 $- 1 (x + 3)$ 。

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 3) (- x + 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 3) (- (x) + 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.7

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 3) (- (x) - 1 \cdot - 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.8

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 3) (- (x - 2))}{- x - 6}$

解题步骤 3.9

化简表达式。

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解题步骤 3.9.1

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 3) (- 1 (x - 2))}{- x - 6}$

解题步骤 3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{1 (x + 3) (x - 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.9.3

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = \frac{(x + 3) (x - 2)}{- x - 6}$

解题步骤 3.10

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{(x + 3) (x - 2)}{- (x) - 6}$

解题步骤 3.11

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$f (- x) = \frac{(x + 3) (x - 2)}{- (x) - 1 \cdot 6}$

解题步骤 3.12

从 $- (x) - 1 (6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = \frac{(x + 3) (x - 2)}{- (x + 6)}$

解题步骤 3.13

重写负数。

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解题步骤 3.13.1

将 $- (x + 6)$ 重写为 $- 1 (x + 6)$ 。

$f (- x) = \frac{(x + 3) (x - 2)}{- 1 (x + 6)}$

解题步骤 3.13.2

将负号移到分数的前面。

$f (- x) = - \frac{(x + 3) (x - 2)}{x + 6}$

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 4.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 4.2

因为 $- \frac{(x + 3) (x - 2)}{x + 6}$ $\neq$ $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 6}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 5

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 6}$ 。

$- f (x) = - \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 6}$

解题步骤 5.2

因为 $- \frac{(x + 3) (x - 2)}{x + 6}$ $\neq$ $- \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 6}$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

解题步骤 6

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 7

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 8

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

解题步骤 9

因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以没有关于原点 / y 轴对称。

函数不对称

解题步骤 10

代数 示例

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