代数示例

$\frac{k}{x^{n}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $k$ 对于 $n$ 是常数，所以 $\frac{k}{x^{n}}$ 对 $n$ 的导数是 $k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$ 。

$k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x^{n}}$ 重写为 ${(x^{n})}^{- 1}$ 。

$k \frac{d}{d n} [{(x^{n})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{n})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k \frac{d}{d n} [x^{n \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $n$ 的左侧。

$k \frac{d}{d n} [x^{- 1 \cdot n}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $- 1 n$ 重写为 $- n$ 。

$k \frac{d}{d n} [x^{- n}]$

解题步骤 2

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = - n$ 。

$k (\frac{d}{d n} [x] (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 对于 $n$ 是常数，所以 $x$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$k (0 (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$k (0 (n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

解题步骤 3.2.2

将 $n$ 乘以 $0$ 。

$k (0 x^{- n - 1} + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 乘以 $x^{- n - 1}$ 。

$k (0 + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

解题步骤 3.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x))$ 相加。

$k (\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

解题步骤 3.3

因为 $- 1$ 对于 $n$ 是常数，所以 $- n$ 对 $n$ 的导数是 $- \frac{d}{d n} [n]$ 。

$k (- \frac{d}{d n} [n]) (x^{- n} \ln (x))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$k (- 1 \cdot 1) (x^{- n} \ln (x))$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$k \cdot - 1 (x^{- n} \ln (x))$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 移到 $k$ 的左侧。

$- 1 \cdot k (x^{- n} \ln (x))$

解题步骤 3.5.3

将 $- 1 k$ 重写为 $- k$ 。

$- k (x^{- n} \ln (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $- k x^{- n} \ln (x)$ 的因式。

$- x^{- n} k \ln (x)$

解题步骤 4.2

将 $- x^{- n} k \ln (x)$ 中的因式重新排序。

$- k x^{- n} \ln (x)$

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