代数示例

$\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{3} + 28000$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 28000$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $28000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.6

将 $6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

解题步骤 2.8.2

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $28000$ 。

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2

从 $6 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

解题步骤 2.8.3

从 $4 x^{3} - 28000$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.8.3.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

解题步骤 2.8.3.2

从 $- 28000$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

解题步骤 2.8.3.3

从 $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}})$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} - 7000$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

解题步骤 3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x^{3} - 7000$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7000]$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 7000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.3.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.5

将 $3$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 7000) (2 x)}{x^{4}})$

解题步骤 3.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

解题步骤 3.7.2

从 $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

解题步骤 3.7.2.2

从 $- 2 (x^{3} - 7000) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

解题步骤 3.7.2.3

从 $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

解题步骤 3.8

约去公因数。

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解题步骤 3.8.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

解题步骤 3.8.2

约去公因数。

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

解题步骤 3.8.3

重写表达式。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}})$

解题步骤 3.9

组合 $4$ 和 $\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{3}}$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3}) + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.3

化简分子。

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解题步骤 3.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.10.3.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.3.1.3

乘以 $4 (- 2 \cdot - 7000)$ 。

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解题步骤 3.10.3.1.3.1

将 $- 2$ 乘以 $- 7000$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.3.1.3.2

将 $4$ 乘以 $14000$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.3.2

从 $12 x^{3}$ 中减去 $8 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.4

从 $4 x^{3} + 56000$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.10.4.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3}) + 56000}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.4.2

从 $56000$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

解题步骤 3.10.4.3

从 $4 x^{3} + 4 \cdot 14000$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} + 14000)}{x^{3}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 28000$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5

因为 $28000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6

将 $6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.8

化简。

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解题步骤 5.1.8.1

运用分配律。

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.8.2

化简分子。

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解题步骤 5.1.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.8.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.8.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $28000$ 。

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.8.2.2

从 $6 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.8.3

从 $4 x^{3} - 28000$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.1.8.3.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.8.3.2

从 $- 28000$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

解题步骤 5.1.8.3.3

从 $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ 。

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$4 (x^{3} - 7000) = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

将 $4 (x^{3} - 7000) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $4 (x^{3} - 7000) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.3.1.2.1.2

用 $x^{3} - 7000$ 除以 $1$ 。

$x^{3} - 7000 = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{3} - 7000 = 0$

解题步骤 6.3.2

在等式两边都加上 $7000$ 。

$x^{3} = 7000$

解题步骤 6.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{7000}$

解题步骤 6.3.4

化简 $\sqrt[3]{7000}$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $7000$ 重写为 $10^{3} \cdot 7$ 。

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解题步骤 6.3.4.1.1

从 $7000$ 中分解出因数 $1000$ 。

$x = \sqrt[3]{1000 (7)}$

解题步骤 6.3.4.1.2

将 $1000$ 重写为 $10^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{10^{3} \cdot 7}$

解题步骤 6.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 7.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

解题步骤 9

计算在 $x = 10 \sqrt[3]{7}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

对 $10 \sqrt[3]{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 (10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 (1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.3

将 ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 10.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4 (1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{1} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.3.5

计算指数。

$\frac{4 (1000 \cdot 7 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.4

将 $1000$ 乘以 $7$ 。

$\frac{4 (7000 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.1.5

将 $7000$ 和 $14000$ 相加。

$\frac{4 \cdot 21000}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

对 $10 \sqrt[3]{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 \cdot 21000}{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

解题步骤 10.2.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

解题步骤 10.2.3

将 ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 10.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 10.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 10.2.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 10.2.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 10.2.3.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{1}}$

解题步骤 10.2.3.5

计算指数。

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7}$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

将 $4$ 乘以 $21000$ 。

$\frac{84000}{1000 \cdot 7}$

解题步骤 10.3.2

将 $1000$ 乘以 $7$ 。

$\frac{84000}{7000}$

解题步骤 10.3.3

用 $84000$ 除以 $7000$ 。

$12$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 10 \sqrt[3]{7}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 10 \sqrt[3]{7}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $10 \sqrt[3]{7}$ 替换变量 $x$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

约去 $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3}) + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.1.2

从 $28000$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000}{10 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.1.3

从 $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{10 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.1.4

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1.4.1

从 $10 \sqrt[3]{7}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

解题步骤 12.2.1.4.2

约去公因数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

解题步骤 12.2.1.4.3

重写表达式。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2

化简分子。

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解题步骤 12.2.2.1

对 $10 \sqrt[3]{7}$ 运用乘积法则。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.3

将 ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 12.2.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.3.4.1

约去公因数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.3.4.2

重写表达式。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.3.5

计算指数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.4

将 $1000$ 乘以 $7$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7000 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.2.5

将 $7000$ 和 $14000$ 相加。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{21000}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.3

约去 $21000$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.1

从 $21000$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.2.1

从 $5 \sqrt[3]{7}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 (\sqrt[3]{7})}$

解题步骤 12.2.3.2.2

约去公因数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.3.2.3

重写表达式。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$

解题步骤 12.2.4

将 $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

解题步骤 12.2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

解题步骤 12.2.5.2

对 $\sqrt[3]{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

解题步骤 12.2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

解题步骤 12.2.5.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

解题步骤 12.2.5.5

将 ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 12.2.5.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 12.2.5.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 12.2.5.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 12.2.5.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.5.4.1

约去公因数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 12.2.5.5.4.2

重写表达式。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

解题步骤 12.2.5.5.5

计算指数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

解题步骤 12.2.6

约去 $4200$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.6.1

从 $4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7}$

解题步骤 12.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.6.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 (1)}$

解题步骤 12.2.6.2.2

约去公因数。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.6.2.3

重写表达式。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{600 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{1}$

解题步骤 12.2.6.2.4

用 $600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$

解题步骤 12.2.7

将 ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{7^{2}}$ 。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{7^{2}}$

解题步骤 12.2.8

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{49}$

解题步骤 12.2.9

最终答案为 $600 \sqrt[3]{49}$ 。

$y = 600 \sqrt[3]{49}$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ 的局部极值。

$(10 \sqrt[3]{7}, 600 \sqrt[3]{49})$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

代数 示例

代数示例