代数示例

$g (x) = \sqrt{x - 1}$ , $x \geq 1$

解题步骤 1

求给定函数的值域。

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解题步骤 1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

$[0, \infty)$

解题步骤 1.2

将 $[0, \infty)$ 转换为不等式。

$y \geq 0$

$y \geq 0$

解题步骤 2

求反函数。

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解题步骤 2.1

交换变量。

$x = \sqrt{y - 1}$

解题步骤 2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $\sqrt{y - 1} = x$ 。

$\sqrt{y - 1} = x$

解题步骤 2.2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 2.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y - 1}$ 重写成 ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

化简 ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

将 ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

化简。

$y - 1 = x^{2}$

$y - 1 = x^{2}$

$y - 1 = x^{2}$

$y - 1 = x^{2}$

解题步骤 2.2.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = x^{2} + 1$

$y = x^{2} + 1$

解题步骤 2.3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

解题步骤 3

利用原函数的定义域和值域求反函数。

$g^{- 1} (x) = x^{2} + 1, x \geq 0$

解题步骤 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$