代数示例

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(x - \frac{1}{x})}^{3}$ , $n = 3$ ，所以展开系数将对应直线 $4$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 3 - 3 - 1$ 。

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

解题步骤 3

将 $a$ $x$ 和 $b$ $- \frac{1}{x}$ 的实际值代入表达式。

$1 {(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{3} {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1

对 $- \frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.2.2

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.4

约去 $x^{0}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 ${(- 1)}^{0} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{0}$ 。

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.4.3

重写表达式。

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6

通过指数相加将 $1$ 乘以 $1^{0}$ 。

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解题步骤 4.6.1

移动 $1^{0}$ 。

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6.2

将 $1^{0}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.6.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.6.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1^{1} x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.7

化简 $1^{1} x^{3}$ 。

$x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.8

化简。

$x^{3} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x}) + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.1

将 $- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{3} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9.3

约去公因数。

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.9.4

重写表达式。

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.10

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} - 3 x + 3 {(x)}^{1} {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.11

化简。

$x^{3} - 3 x + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.12

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.12.1

对 $- \frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.12.2

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.13

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{3} - 3 x + 3 x (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.14

将 $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.15

一的任意次幂都为一。

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16.3

约去公因数。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1}{x \cdot x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.16.4

重写表达式。

$x^{3} - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.17

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.18

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.19

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.20

将 ${(- \frac{1}{x})}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.21

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.21.1

对 $- \frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 4.21.2

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 4.22

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

解题步骤 4.23

一的任意次幂都为一。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$

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