代数示例

$q (3) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$

解题步骤 2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = q (3)$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(x + 3) (x - 3), 1$

解题步骤 3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$(x + 3) (x - 3)$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ 中的每一项乘以 $(x + 3) (x - 3)$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ 中的每一项乘以 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $(x + 3) (x - 3)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$1 = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 移到 $q$ 的左侧。

$1 = 3 q ((x + 3) (x - 3))$

解题步骤 4.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$1 = 3 q (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

解题步骤 4.3.2.2

运用分配律。

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

解题步骤 4.3.2.3

运用分配律。

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.3

化简项。

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解题步骤 4.3.3.1

合并 $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.3.1.1

按照 $x \cdot - 3$ 和 $3 x$ 重新排列因数。

$1 = 3 q (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.3.1.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$1 = 3 q (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.3.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$1 = 3 q (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 = 3 q (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$1 = 3 q (x^{2} - 9)$

解题步骤 4.3.3.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.3.3.3.1

运用分配律。

$1 = 3 q x^{2} + 3 q \cdot - 9$

解题步骤 4.3.3.3.2

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$1 = 3 q x^{2} - 27 q$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $3 q x^{2} - 27 q = 1$ 。

$3 q x^{2} - 27 q = 1$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $27 q$ 。

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$

解题步骤 5.3

将 $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ 中的每一项除以 $3 q$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 q x^{2} = 1 + 27 q$ 中的每一项都除以 $3 q$ 。

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $q$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $27 q$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

从 $3 q$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 (q)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去 $q$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

约去公因数。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

用 $9$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + 9$

解题步骤 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$

解题步骤 5.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$ 。

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解题步骤 5.5.1

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 q}{3 q}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9 \cdot \frac{3 q}{3 q}}$

解题步骤 5.5.2

组合 $9$ 和 $\frac{3 q}{3 q}$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + \frac{9 (3 q)}{3 q}}$

解题步骤 5.5.3

在公分母上合并分子。

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 9 (3 q)}{3 q}}$

解题步骤 5.5.4

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$

解题步骤 5.5.5

将 $\sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$

解题步骤 5.5.6

将 $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}} \cdot \frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$

解题步骤 5.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.7.1

将 $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q} \sqrt{3 q}}$

解题步骤 5.5.7.2

对 $\sqrt{3 q}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} \sqrt{3 q}}$

解题步骤 5.5.7.3

对 $\sqrt{3 q}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} {\sqrt{3 q}}^{1}}$

解题步骤 5.5.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{2}}$

解题步骤 5.5.7.6

将 ${\sqrt{3 q}}^{2}$ 重写为 $3 q$ 。

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解题步骤 5.5.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 q}$ 重写成 ${(3 q)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{({(3 q)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{1}}$

解题步骤 5.5.7.6.5

化简。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{3 q}$

解题步骤 5.5.8

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$

解题步骤 5.5.9

将 $\pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$ 中的因式重新排序。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

解题步骤 6

要重写成 $q$ 的函数，请将方程写成等号的一边只有 $x$ ，而另一边只有 $q$ 的形式。

$f (q) = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}, - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

代数 示例

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