代数示例

$f (x) = \frac{3 x^{2} + x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 1 x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 2.1.1.2

把 $1$ 重写为 $- 3$ 加 $4$

$f (x) = \frac{3 x^{2} + (- 3 + 4) x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f (x) = \frac{(3 x^{2} - 3 x) + 4 x - 4}{2 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f (x) = \frac{3 x (x - 1) + 4 (x - 1)}{2 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $x - 1$ 来因式分解多项式。

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{2 x^{2} - 7 x}$

解题步骤 2.2

从 $2 x^{2} - 7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x) - 7 x}$

解题步骤 2.2.2

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x) + x \cdot - 7}$

解题步骤 2.2.3

从 $x (2 x) + x \cdot - 7$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x) = \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$

解题步骤 3

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 3.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = \frac{((- x) - 1) (3 (- x) + 4)}{(- x) (2 (- x) - 7)}$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 3 x + 4)}{- x (2 (- x) - 7)}$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 3 x + 4)}{- x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (- x) = - \frac{(- x - 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.5

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{- (x + 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.6

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 3 x + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.7

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (3 x) + 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.8

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (3 x) - 1 \cdot - 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.9

从 $- (3 x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (3 x - 4))}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $- (3 x - 4)$ 重写为 $- 1 (3 x - 4)$ 。

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 1 (3 x - 4))}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{1 (x + 1) (3 x - 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.10.3

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- 2 x - 7)}$

解题步骤 3.11

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- (2 x) - 7)}$

解题步骤 3.12

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- (2 x) - 1 \cdot 7)}$

解题步骤 3.13

从 $- (2 x) - 1 (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- (2 x + 7))}$

解题步骤 3.14

化简表达式。

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解题步骤 3.14.1

将 $- (2 x + 7)$ 重写为 $- 1 (2 x + 7)$ 。

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (- 1 (2 x + 7))}$

解题步骤 3.14.2

将负号移到分数的前面。

$f (- x) = \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$

解题步骤 3.14.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x) = 1 (\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)})$

解题步骤 3.14.4

将 $\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = \frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 4.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 4.2

因为 $\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$ $\neq$ $\frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 5

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $\frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$ 。

$- f (x) = - \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{(x + 1) (3 x - 4)}{x (2 x + 7)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 1) (3 x + 4)}{x (2 x - 7)}$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

解题步骤 6

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 7

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 8

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

解题步骤 9

因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以没有关于原点 / y 轴对称。

函数不对称

解题步骤 10

代数 示例

代数示例