代数示例

$\sqrt{\frac{48}{x}}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sqrt{\frac{48}{y}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt{\frac{48}{y}} = x$ 。

$\sqrt{\frac{48}{y}} = x$

解题步骤 2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\frac{48}{y}}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{48}{y}}$ 重写成 ${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 ${({(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(\frac{48}{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(\frac{48}{y})}^{1} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

化简。

$\frac{48}{y} = x^{2}$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1$

解题步骤 2.4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{48}{y} = x^{2}$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $\frac{48}{y} = x^{2}$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{48}{y} y = x^{2} y$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

重写表达式。

$48 = x^{2} y$

解题步骤 2.4.3

求解方程。

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解题步骤 2.4.3.1

将方程重写为 $x^{2} y = 48$ 。

$x^{2} y = 48$

解题步骤 2.4.3.2

将 $x^{2} y = 48$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.2.1

将 $x^{2} y = 48$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{48}{x^{2}}$

解题步骤 2.4.3.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{48}{x^{2}}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\sqrt{\frac{48}{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

化简分母。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\sqrt{\frac{48}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{16 (3)}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.2.2

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.3.4.1

将 $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.4.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.4.6.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x}}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.5

使用根数乘积法则进行合并。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{x \cdot 3}}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.6

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{{(\frac{4 \sqrt{3 \cdot x}}{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2.3.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.3.7.1

对 $\frac{4 \sqrt{3 x}}{x}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{{(4 \sqrt{3 x})}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.7.2

对 $4 \sqrt{3 x}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{4^{2} {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.8.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {\sqrt{3 x}}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8.2

将 ${\sqrt{3 x}}^{2}$ 重写为 $3 x$ 。

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解题步骤 4.2.3.8.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x}$ 重写成 ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.8.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 {(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8.2.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 (3 x)}{x^{2}}}$

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{16 \cdot (3 x)}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.8.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48 x}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.9

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.9.1

从 $48 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x^{2}}}$

解题步骤 4.2.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.9.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

解题步骤 4.2.3.9.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{x \cdot 48}{x \cdot x}}$

解题步骤 4.2.3.9.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = \frac{48}{\frac{48}{x}}$

解题步骤 4.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

解题步骤 4.2.5

约去 $48$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = 48 (\frac{x}{48})$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{48}{x}}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{48}{x^{2}})$ 。

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{\frac{48}{\frac{48}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

解题步骤 4.3.4

约去 $48$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{48 (\frac{x^{2}}{48})}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{48}{x^{2}}) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 4.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{48}{x^{2}}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$ 为 $f (x) = \sqrt{\frac{48}{x}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{48}{x^{2}}$

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