代数示例

$y = | x^{2} - 3 x + 1 |$ , $y = x - 1$

解题步骤 1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$

解题步骤 2

求解 $x$ 的 $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x^{2} - 3 x + 1 = \pm (x - 1)$

解题步骤 2.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x^{2} - 3 x + 1 = x - 1$

解题步骤 2.2.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.2.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - 3 x + 1 - x = - 1$

解题步骤 2.2.2.2

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 4 x + 1 = - 1$

解题步骤 2.2.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 2.2.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} - 4 x + 1 + 1 = 0$

解题步骤 2.2.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

解题步骤 2.2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x - 1$

解题步骤 2.2.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = x - 1$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.6.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.2.6.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.7.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.7.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.7.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.7.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.2.7.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 2 + \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.8.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.8.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.8.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.8.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.2.8.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 2 - \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.10

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

解题步骤 2.2.11

化简 $- (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.11.1

重写。

$x^{2} - 3 x + 1 = 0 + 0 - (x - 1)$

解题步骤 2.2.11.2

通过加上各个零进行化简。

$x^{2} - 3 x + 1 = - (x - 1)$

解题步骤 2.2.11.3

运用分配律。

$x^{2} - 3 x + 1 = - x - - 1$

解题步骤 2.2.11.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} - 3 x + 1 = - x + 1$

解题步骤 2.2.12

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.2.12.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$x^{2} - 3 x + 1 + x = 1$

解题步骤 2.2.12.2

将 $- 3 x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} - 2 x + 1 = 1$

解题步骤 2.2.13

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 - 1 = 0$

解题步骤 2.2.14

合并 $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.14.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$x^{2} - 2 x + 0 = 0$

解题步骤 2.2.14.2

将 $x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 2 x = 0$

解题步骤 2.2.15

从 $x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.15.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - 2 x = 0$

解题步骤 2.2.15.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.15.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 2) = 0$

解题步骤 2.2.16

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 1$

解题步骤 2.2.17

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.2.18

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.18.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.2.18.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.2.19

最终解为使 $x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 2.2.20

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}, 0, 2$

解题步骤 2.3

排除不能使 $| x^{2} - 3 x + 1 | = x - 1$ 成立的解。

$x = 2 + \sqrt{2}, 2$

解题步骤 3

当 $x = 2 + \sqrt{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $2 + \sqrt{2}$ 替换 $x$ 。

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

解题步骤 3.2

将 $2 + \sqrt{2}$ 代入 $y = (2 + \sqrt{2}) - 1$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 + \sqrt{2} - 1$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$y = (2 + \sqrt{2}) - 1$

解题步骤 3.2.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$y = 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 4

当 $x = 2$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = (2) - 1$

解题步骤 4.2

将 $2$ 代入 $y = (2) - 1$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 4.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 - 1$

解题步骤 4.2.2

去掉圆括号。

$y = (2) - 1$

解题步骤 4.2.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 5

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

$(2, 1)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(2 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}), (2, 1)$

方程形式：

$x = 2 + \sqrt{2}, y = 1 + \sqrt{2}$

$x = 2, y = 1$

解题步骤 7

代数 示例

代数示例