代数示例

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 写为等式。

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ 。

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

解题步骤 3.3

展开左边。

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解题步骤 3.3.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ 。

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

解题步骤 3.3.2

将 $\ln (\frac{1}{2})$ 重写为 $\ln (1) - \ln (2)$ 。

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 3.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 3.3.4

从 $0$ 中减去 $\ln (2)$ 。

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

将 $y (- \ln (2))$ 中的因式重新排序。

$- y \ln (2) = \ln (x)$

解题步骤 3.5

将 $- y \ln (2) = \ln (x)$ 中的每一项除以 $- \ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $- y \ln (2) = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $- \ln (2)$ 。

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

解题步骤 3.5.2.2

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

解题步骤 3.5.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

解题步骤 5.3.3.2

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

解题步骤 5.3.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \log_{2} (x)$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

解题步骤 5.3.4.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

解题步骤 5.3.4.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 5.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

解题步骤 5.3.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ 为 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

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