代数示例

$\frac{x + 6}{x^{2} + 8 x + 15} + \frac{3 x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 3}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 8 x + 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $15$ ，和为 $8$ 。

$3, 5$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 3}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{3 x}{x + 5}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{3 x}{x + 5}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{x - 3}{x + 3}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - (\frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + 5}{x + 5})$

解题步骤 2.4

将 $\frac{x - 3}{x + 3}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - \frac{(x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 2.5

重新排序 $(x + 5) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 5)} - \frac{(x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{x + 6 + 3 x (x + 3) - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x + 6 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x + 6 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x + (- x - - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x + (- x + 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.6

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 3) (x + 5)$ 。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x (x + 5) + 3 (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.6.2

运用分配律。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.6.3

运用分配律。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.7.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - (x \cdot x) - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.7.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.7.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.7.1.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 5 x + 3 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 4.7.2

将 $- 5 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 2 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $x$ 和 $9 x$ 相加。

$\frac{10 x + 6 + 3 x^{2} - x^{2} - 2 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 5.2

从 $10 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{6 + 3 x^{2} - x^{2} + 8 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 5.3

将 $6$ 和 $15$ 相加。

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 8 x + 21}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 5.4

从 $3 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 8 x + 21}{(x + 3) (x + 5)}$

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