代数示例

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

解题步骤 1

求 $y = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{x - 3}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 3 \geq 0$

解题步骤 1.2

在不等式两边同时加上 $3$ 。

$x \geq 3$

解题步骤 1.3

将 $\frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[3, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 3}$

区间计数法：

$[3, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 3}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $3$ 代入 $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ ，即定义域中的最小值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{(3) - 3} \cdot 3 - 2 \sqrt{(3) - 3}}{(3) + 2}$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0^{2}} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.4

乘以 $- 0 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.4.2

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0}}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0^{2}}}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \cdot 0}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.8

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (3) = \frac{3 + 0 + 0}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.9

将 $3 + 0$ 和 $0$ 相加。

$f (3) = \frac{3 + 0}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.1.10

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f (3) = \frac{3}{3 + 2}$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f (3) = \frac{3}{5}$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $\frac{3}{5}$ 。

$\frac{3}{5}$

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(3, \frac{3}{5})$ 。

$(3, \frac{3}{5})$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $4$ 代入 $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ 。在本例中，该点为 $(4, - \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{(4) - 3} \cdot 4 - 2 \sqrt{(4) - 3}}{(4) + 2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{1} \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

乘以 $- 1 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{1}}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \cdot 1}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.7

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$f (4) = \frac{- 1 - 2}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.1.8

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f (4) = \frac{- 3}{4 + 2}$

解题步骤 4.1.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$f (4) = \frac{- 3}{6}$

解题步骤 4.1.2.2.2

约去 $- 3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (4) = \frac{3 (- 1)}{6}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.2.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2.2

约去公因数。

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2.3

重写表达式。

$f (4) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (4) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $5$ 代入 $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ 。在本例中，该点为 $(5, \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7})$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{(5) - 3} \cdot 5 - 2 \sqrt{(5) - 3}}{(5) + 2}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.1.1

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{2} \cdot 5 - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

解题步骤 4.2.2.1.3

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{5 + 2}$

解题步骤 4.2.2.1.4

从 $- 5 \sqrt{2}$ 中减去 $2 \sqrt{2}$ 。

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{5 + 2}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $\frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$ 。

$y = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(3, \frac{3}{5}), (4, - 0.5), (5, - 0.99)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & \frac{3}{5} \\ 4 & - 0.5 \\ 5 & - 0.99 \end{array}$

解题步骤 5

代数 示例

代数示例