代数示例

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{3} (x (x^{2} + 2)) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

解题步骤 1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{3} (x^{1 + 2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\log_{3} (x^{3} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

解题步骤 1.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

解题步骤 2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x) = 1$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

化简 $\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \log_{3} (x)$ 。

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - \log_{3} (x^{2}) = 1$

解题步骤 3.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{3} (\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

解题步骤 3.1.3

从 $x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

解题步骤 3.1.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{x^{2}}) = 1$

解题步骤 3.1.3.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x^{2}}) = 1$

解题步骤 3.1.4

约去公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

解题步骤 3.1.4.2

约去公因数。

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

解题步骤 3.1.4.3

重写表达式。

$\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$

解题步骤 4

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{1} = \frac{x^{2} + 2}{x}$

解题步骤 5

交叉相乘以去掉分数。

$x^{2} + 2 = 3 (x)$

解题步骤 6

将 $3$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 2 = 3 x$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 - 3 x$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 9

化简 $(x - 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 9.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 9.1.1

运用分配律。

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0$

解题步骤 9.1.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 0$

解题步骤 9.1.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 9.2.2

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

解题步骤 10

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 10.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 10.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 12

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 13

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 13.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 14

最终解为使 $(x - 2) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, 1$

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