代数示例

$x^{10} - 31 x^{5} - 32 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{10}$ 重写为 ${(x^{5})}^{2}$ 。

${(x^{5})}^{2} - 31 x^{5} - 32 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{5}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{5}$ 。

$u^{2} - 31 u - 32 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 31 u - 32$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 32$ ，和为 $- 31$ 。

$- 32, 1$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 32) (u + 1) = 0$

$(u - 32) (u + 1) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$

$(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{5} - 32 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{5} - 32$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{5} - 32$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} - 32 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{5} - 32 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $32$ 。

$x^{5} = 32$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[5]{32}$

解题步骤 3.2.3

化简 $\sqrt[5]{32}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $32$ 重写为 $2^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{2^{5}}$

解题步骤 3.2.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

解题步骤 4

将 $x^{5} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{5} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{5} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{5} = - 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[5]{- 1}$

解题步骤 4.2.3

化简 $\sqrt[5]{- 1}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

解题步骤 4.2.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = - 1$

$x = - 1$

$x = - 1$

$x = - 1$

解题步骤 5

最终解为使 $(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$