代数示例

$\frac{3}{x^{2} - x - 6} + \frac{2}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{2}{x^{2} + 6 x + 5}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 6 x + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $6$ 。

$1, 5$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{3}{(x - 3) (x + 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)}$ 。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ 。

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 3) (x + 2) (x + 1) (x + 5)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3}{(x - 3) (x + 2)}$ 乘以 $\frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)}$ 。

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x - 3) (x + 2) ((x + 1) (x + 5))} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ 。

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x - 3) (x + 2) ((x + 1) (x + 5))} + \frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 5) ((x - 3) (x + 2))}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 3) (x + 2) ((x + 1) (x + 5))$ 的因式。

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)} + \frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 5) ((x - 3) (x + 2))}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(x + 1) (x + 5) ((x - 3) (x + 2))$ 的因式。

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)} + \frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5)) + 2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(3 x + 3 \cdot 1) (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x + 3) (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.3

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 3) (x + 5)$ 。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{3 x (x + 5) + 3 (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 3 (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2} + 15 x + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.4.1.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 x^{2} + 15 x + 3 x + 15 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.4.2

将 $15 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + (2 x + 2 \cdot - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.6

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + (2 x - 6) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.7

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 6) (x + 2)$ 。

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解题步骤 6.7.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x (x + 2) - 6 (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.7.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.7.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.8.1

化简每一项。

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解题步骤 6.8.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.8.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.8.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.8.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} + 4 x - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.8.1.3

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} + 4 x - 6 x - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.8.2

从 $4 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} - 2 x - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.9

将 $3 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{5 x^{2} + 18 x + 15 - 2 x - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.10

从 $18 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{5 x^{2} + 16 x + 15 - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.11

从 $15$ 中减去 $12$ 。

$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.12

分组因式分解。

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解题步骤 6.12.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot 3 = 15$ 并且它们的和为 $b = 16$ 。

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解题步骤 6.12.1.1

从 $16 x$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{5 x^{2} + 16 (x) + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.12.1.2

把 $16$ 重写为 $1$ 加 $15$

$\frac{5 x^{2} + (1 + 15) x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.12.1.3

运用分配律。

$\frac{5 x^{2} + 1 x + 15 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.12.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 x^{2} + x + 15 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.12.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.12.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(5 x^{2} + x) + 15 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.12.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (5 x + 1) + 3 (5 x + 1)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

解题步骤 6.12.3

通过因式分解出最大公因数 $5 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(5 x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

代数 示例

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