代数示例

$\sqrt{x + 2} \leq x - 10$

解题步骤 1

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x + 2}}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

解题步骤 2

化简不等式的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 2)}^{1} \leq {(x - 10)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$x + 2 \leq {(x - 10)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(x - 10)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(x - 10)}^{2}$ 重写为 $(x - 10) (x - 10)$ 。

$x + 2 \leq (x - 10) (x - 10)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 10) (x - 10)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$x + 2 \leq x (x - 10) - 10 (x - 10)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x + 2 \leq x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $- 10$ 移到 $x$ 的左侧。

$x + 2 \leq x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $- 10$ 乘以 $- 10$ 。

$x + 2 \leq x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$x + 2 \leq x^{2} - 20 x + 100$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$x^{2} - 20 x + 100 \geq x + 2$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从不等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - 20 x + 100 - x \geq 2$

解题步骤 3.2.2

从 $- 20 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 21 x + 100 \geq 2$

解题步骤 3.3

把不等式转换成方程。

$x^{2} - 21 x + 100 = 2$

解题步骤 3.4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} - 21 x + 100 - 2 = 0$

解题步骤 3.5

从 $100$ 中减去 $2$ 。

$x^{2} - 21 x + 98 = 0$

解题步骤 3.6

使用 AC 法来对 $x^{2} - 21 x + 98$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $98$ ，和为 $- 21$ 。

$- 14, - 7$

解题步骤 3.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 14) (x - 7) = 0$

解题步骤 3.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 14 = 0$

$x - 7 = 0$

解题步骤 3.8

将 $x - 14$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x - 14$ 设为等于 $0$ 。

$x - 14 = 0$

解题步骤 3.8.2

在等式两边都加上 $14$ 。

$x = 14$

解题步骤 3.9

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.9.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 3.9.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 3.10

最终解为使 $(x - 14) (x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 14, 7$

解题步骤 4

求 $\sqrt{x + 2} - x + 10$ 的定义域。

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解题步骤 4.1

将 $\sqrt{x + 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 2 \geq 0$

解题步骤 4.2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 4.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 2, \infty)$

解题步骤 5

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq 14$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x \geq 14$

区间计数法：

$[14, \infty)$

解题步骤 7

代数 示例

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