代数示例

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) = \ln (7 x) - \ln (x - 2)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) = \ln (\frac{7 x}{x - 2})$

解题步骤 2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) - \ln (\frac{7 x}{x - 2}) = 0$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

化简 $2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) - \ln (\frac{7 x}{x - 2})$ 。

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解题步骤 3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\ln (x^{2}) - \ln (2 x - 9) - \ln (\frac{7 x}{x - 2}) = 0$

解题步骤 3.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 9}) - \ln (\frac{7 x}{x - 2}) = 0$

解题步骤 3.1.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{2 x - 9}}{\frac{7 x}{x - 2}}) = 0$

解题步骤 3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{7 x}) = 0$

解题步骤 3.1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{7 x}) = 0$

解题步骤 3.1.5.2

从 $7 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 7}) = 0$

解题步骤 3.1.5.3

约去公因数。

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 7}) = 0$

解题步骤 3.1.5.4

重写表达式。

$\ln (\frac{x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{7}) = 0$

解题步骤 3.1.6

将 $\frac{x}{2 x - 9}$ 乘以 $\frac{x - 2}{7}$ 。

$\ln (\frac{x (x - 2)}{(2 x - 9) \cdot 7}) = 0$

解题步骤 3.1.7

将 $7$ 移到 $2 x - 9$ 的左侧。

$\ln (\frac{x (x - 2)}{7 (2 x - 9)}) = 0$

解题步骤 4

利用对数的定义将 $\ln (\frac{x (x - 2)}{7 (2 x - 9)}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{x (x - 2)}{7 (2 x - 9)}$

解题步骤 5

交叉相乘以去掉分数。

$x (x - 2) = e^{0} (7 (2 x - 9))$

解题步骤 6

化简 $e^{0} (7 (2 x - 9))$ 。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x (x - 2) = 1 (7 (2 x - 9))$

解题步骤 6.1.2

将 $7 (2 x - 9)$ 乘以 $1$ 。

$x (x - 2) = 7 (2 x - 9)$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$x (x - 2) = 7 (2 x) + 7 \cdot - 9$

解题步骤 6.3

乘。

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解题步骤 6.3.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$x (x - 2) = 14 x + 7 \cdot - 9$

解题步骤 6.3.2

将 $7$ 乘以 $- 9$ 。

$x (x - 2) = 14 x - 63$

解题步骤 7

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.1

从等式两边同时减去 $14 x$ 。

$x (x - 2) - 14 x = - 63$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 x = - 63$

解题步骤 7.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 2 - 14 x = - 63$

解题步骤 7.2.3

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 2 x - 14 x = - 63$

解题步骤 7.3

从 $- 2 x$ 中减去 $14 x$ 。

$x^{2} - 16 x = - 63$

解题步骤 8

从 $x^{2} - 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - 16 x = - 63$

解题步骤 8.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 16 = - 63$

解题步骤 8.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 16$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 16) = - 63$

解题步骤 9

化简 $x (x - 16)$ 。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 16 = - 63$

解题步骤 9.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 16 = - 63$

解题步骤 9.2.2

将 $- 16$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 16 x = - 63$

解题步骤 10

在等式两边都加上 $63$ 。

$x^{2} - 16 x + 63 = 0$

解题步骤 11

使用 AC 法来对 $x^{2} - 16 x + 63$ 进行因式分解。

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解题步骤 11.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $63$ ，和为 $- 16$ 。

$- 9, - 7$

解题步骤 11.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 9) (x - 7) = 0$

解题步骤 12

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

$x - 7 = 0$

解题步骤 13

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 13.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 14

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 14.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 15

最终解为使 $(x - 9) (x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 9, 7$

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