代数示例

$\frac{x^{2} - 2 x - 24}{x^{2} + 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $- 2$ 。

$- 6, 4$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{x^{2} + 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $7$ 。

$3, 4$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 6}$

解题步骤 3

化简分子。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 6}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 6}$

解题步骤 4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.1

约去 $x - 6$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$\frac{(x - 6) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 6}$

解题步骤 4.1.2

重写表达式。

$\frac{x + 4}{(x + 3) (x + 4)} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 4.2

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$\frac{x + 4}{(x + 3) (x + 4)} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x + 3} \cdot ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 6.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 6.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - x + x - 1)$

解题步骤 6.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} + 0 - 1)$

解题步骤 6.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x + 3} \cdot (x^{2} - 1)$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{x + 3}$ 乘以 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{x^{2} - 1}{x + 3}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 3}$

解题步骤 8.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 3}$

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