代数示例

$\frac{2 x + 5}{x^{2} - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

从 $x^{2} - 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x - 3 x} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x + 5}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x^{3} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3} - 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} - 9 x} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 9)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x^{2} - 3^{2})} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.3

化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{x^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{2 x + 5}{x (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{2 x + 5}{x (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - (\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x}{x})$

解题步骤 2.4

将 $\frac{x + 1}{(x + 3) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{(x + 3) (x - 3) x}$

解题步骤 2.5

重新排序 $(x + 3) (x - 3) x$ 的因式。

$\frac{(2 x + 5) (x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)} - \frac{3 x + 5}{x (x + 3) (x - 3)} - \frac{(x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 x + 5) (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 5) (x + 3)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$\frac{2 x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.1.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $6 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x + 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1 \cdot 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 + (- x - 1) x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.5

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x \cdot x - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - (x \cdot x) - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - 1 x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.2.7

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 11 x + 15 - x^{2} - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 11 x + 15 - x}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.3.2

从 $11 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 10 x + 15}{x (x + 3) (x - 3)} + \frac{- (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - (3 x) - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 1 \cdot 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{2} + 10 x + 15 - 3 x - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4.4

从 $10 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{x^{2} + 7 x + 15 - 5}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4.5

从 $15$ 中减去 $5$ 。

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 4.6

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $10$ ，和为 $7$ 。

$2, 5$

解题步骤 4.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 2) (x + 5)}{x (x + 3) (x - 3)}$

代数 示例

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