代数示例

${(x - \frac{40}{x})}^{2} - 3 (x - \frac{40}{x}) - 18 = 0$

解题步骤 1

使 $u = x - \frac{40}{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x - \frac{40}{x}$ 。

$u^{2} - 3 u - 18 = 0$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u - 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 18$ ，和为 $- 3$ 。

$- 6, 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 6) (u + 3) = 0$

解题步骤 3

使用 $x - \frac{40}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x - \frac{40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 4

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$(\frac{x \cdot x - 40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(\frac{x^{2} - 40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 7

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(\frac{x^{2} - 40}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x}) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 8

组合 $- 6$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$(\frac{x^{2} - 40}{x} + \frac{- 6 x}{x}) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} - 40 - 6 x}{x} \cdot (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 10

使用 AC 法来对 $x^{2} - 40 - 6 x$ 进行因式分解。

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解题步骤 10.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 40$ ，和为 $- 6$ 。

$- 10, 4$

解题步骤 10.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 11

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x}{x} - \frac{40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x - 40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 13

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 40}{x} + 3) = 0$

解题步骤 14

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 40}{x} + \frac{3 x}{x}) = 0$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{x^{2} - 40 + 3 x}{x} = 0$

解题步骤 16

使用 AC 法来对 $x^{2} - 40 + 3 x$ 进行因式分解。

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解题步骤 16.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 40$ ，和为 $3$ 。

$- 5, 8$

解题步骤 16.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

解题步骤 17

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$

$\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

解题步骤 18

将 $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 18.1

将 $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x}$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$

解题步骤 18.2

求解 $x$ 的 $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$ 。

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解题步骤 18.2.1

将分子设为等于零。

$(x - 10) (x + 4) = 0$

解题步骤 18.2.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 18.2.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 18.2.2.2

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 18.2.2.2.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 18.2.2.2.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 18.2.2.3

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 18.2.2.3.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 18.2.2.3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 18.2.2.4

最终解为使 $(x - 10) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 10, - 4$

解题步骤 19

将 $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 19.1

将 $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x}$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

解题步骤 19.2

求解 $x$ 的 $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$ 。

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解题步骤 19.2.1

将分子设为等于零。

$(x - 5) (x + 8) = 0$

解题步骤 19.2.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 19.2.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

解题步骤 19.2.2.2

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 19.2.2.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 19.2.2.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 19.2.2.3

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 19.2.2.3.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 19.2.2.3.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 19.2.2.4

最终解为使 $(x - 5) (x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 8$

解题步骤 20

最终解为使 $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$ 成立的所有值。

$x = 10, - 4, 5, - 8$

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