代数示例

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) = 2 \log_{3} (x + 2)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{3} (6 x)$ 。

$\log_{3} ({(6 x)}^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.1.2

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$\log_{3} (6^{2} x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \log_{3} (x + 2)$ 。

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{3} (\frac{36 x^{2}}{4 x}) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{3} (\frac{\frac{36 x^{2}}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.4

约去 $36$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 (x)}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x^{2}}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x^{1}}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.5.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.5.2.3

约去公因数。

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.5.2.4

重写表达式。

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x}{1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.1.5.2.5

用 $9 x$ 除以 $1$ 。

$\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

解题步骤 3

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{0} = \frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

交叉相乘以去掉分数。

$9 x = 3^{0} ({(x + 2)}^{2})$

解题步骤 5

化简 $3^{0} ({(x + 2)}^{2})$ 。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$9 x = 1 {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.1.2

将 ${(x + 2)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$9 x = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 5.1.3

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$9 x = (x + 2) (x + 2)$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$9 x = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$9 x = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 5.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$9 x = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

解题步骤 5.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$9 x = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

解题步骤 5.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$9 x = x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$9 x - x^{2} = 4 x + 4$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$9 x - x^{2} - 4 x = 4$

解题步骤 6.3

从 $9 x$ 中减去 $4 x$ 。

$- x^{2} + 5 x = 4$

解题步骤 7

从 $- x^{2} + 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- x) + 5 x = 4$

解题步骤 7.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

解题步骤 7.3

从 $x (- x) + x \cdot 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- x + 5) = 4$

解题步骤 8

化简 $x (- x + 5)$ 。

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解题步骤 8.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 8.1.1

运用分配律。

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

解题步骤 8.1.2

重新排序。

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解题步骤 8.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- x \cdot x + x \cdot 5 = 4$

解题步骤 8.1.2.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$- x \cdot x + 5 \cdot x = 4$

解题步骤 8.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1

移动 $x$ 。

$- (x \cdot x) + 5 \cdot x = 4$

解题步骤 8.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x^{2} + 5 \cdot x = 4$

$- x^{2} + 5 x = 4$

解题步骤 9

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- x^{2} + 5 x - 4 = 0$

解题步骤 10

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 10.1

从 $- x^{2} + 5 x - 4$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 10.1.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) + 5 x - 4 = 0$

解题步骤 10.1.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 4 = 0$

解题步骤 10.1.3

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

解题步骤 10.1.4

从 $- (x^{2}) - (- 5 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

解题步骤 10.1.5

从 $- (x^{2} - 5 x) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

解题步骤 10.2

因数。

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解题步骤 10.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 10.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $- 5$ 。

$- 4, - 1$

解题步骤 10.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 4) (x - 1)) = 0$

解题步骤 10.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 4) (x - 1) = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 12

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 13

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 13.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 14

最终解为使 $- (x - 4) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, 1$

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