代数示例

$x^{4} - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 27 x - 36 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$- 3 x^{3} - 27 x + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

解题步骤 1.2

从 $- 3 x^{3} - 27 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} - 27 x + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 27 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 9 + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $- 3 x (x^{2}) - 3 x (9)$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

解题步骤 1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 3 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 3 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 5 u - 36 = 0$

解题步骤 1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 5 u - 36$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 36$ ，和为 $5$ 。

$- 4, 9$

解题步骤 1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 3 x (x^{2} + 9) + (u - 4) (u + 9) = 0$

解题步骤 1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 9) = 0$

解题步骤 1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- 3 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) = 0$

解题步骤 1.8

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$- 3 x (x^{2} + 9) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) = 0$

解题步骤 1.9

从 $- 3 x (x^{2} + 9) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 1.9.1

从 $- 3 x (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$(x^{2} + 9) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) = 0$

解题步骤 1.9.2

从 $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$(x^{2} + 9) (- 3 x) + (x^{2} + 9) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.9.3

从 $(x^{2} + 9) (- 3 x) + (x^{2} + 9) ((x + 2) (x - 2))$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.10

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.10.2

运用分配律。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.10.3

运用分配律。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 1.11

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.11.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 1.11.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 1.11.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 1.12

化简每一项。

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解题步骤 1.12.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 1.12.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$(x^{2} + 9) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.13

重新排序项。

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

解题步骤 1.14

因数。

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解题步骤 1.14.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.14.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $- 3$ 。

$- 4, 1$

解题步骤 1.14.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x^{2} + 9) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

解题步骤 1.14.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 9) (x - 4) (x + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 3.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 3.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 4

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6

最终解为使 $(x^{2} + 9) (x - 4) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3 i, - 3 i, 4, - 1$

解题步骤 7

代数 示例

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