代数示例

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (x + 5) = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x + 5 = \frac{x - 1}{x + 1}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = \frac{x - 1}{x + 1} - 5$

解题步骤 3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1

分解分数 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 成为两个分数。

$x = \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} - 5$

解题步骤 3.1.2.2

将负号移到分数的前面。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 5$

解题步骤 3.1.3

求公分母。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $- 5$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $\frac{- 5}{1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

解题步骤 3.1.3.3

将 $\frac{- 5}{1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5 (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.1.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{x - 1 - 5 (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.1.5.1

运用分配律。

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{x + 1}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5}{x + 1}$

解题步骤 3.1.6

从 $x$ 中减去 $5 x$ 。

$x = \frac{- 4 x - 1 - 5}{x + 1}$

解题步骤 3.1.7

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$x = \frac{- 4 x - 6}{x + 1}$

解题步骤 3.1.8

从 $- 4 x - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.1.8.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 2 x) - 6}{x + 1}$

解题步骤 3.1.8.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 3)}{x + 1}$

解题步骤 3.1.8.3

从 $2 (- 2 x) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 2 x - 3)}{x + 1}$

解题步骤 3.1.9

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{2 (- (2 x) - 3)}{x + 1}$

解题步骤 3.1.10

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{2 (- (2 x) - 1 (3))}{x + 1}$

解题步骤 3.1.11

从 $- (2 x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{2 (- (2 x + 3))}{x + 1}$

解题步骤 3.1.12

将 $- (2 x + 3)$ 重写为 $- 1 (2 x + 3)$ 。

$x = \frac{2 (- 1 (2 x + 3))}{x + 1}$

解题步骤 3.1.13

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x + 1$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$1, x + 1$

解题步骤 3.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x + 1$

解题步骤 3.3

将 $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ 中的每一项乘以 $x + 1$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ 中的每一项乘以 $x + 1$ 。

$x (x + 1) = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $- \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

解题步骤 3.3.3.1.3

重写表达式。

$x^{2} + x = - 2 (2 x + 3)$

解题步骤 3.3.3.2

运用分配律。

$x^{2} + x = - 2 (2 x) - 2 \cdot 3$

解题步骤 3.3.3.3

乘。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} + x = - 4 x - 2 \cdot 3$

解题步骤 3.3.3.3.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} + x = - 4 x - 6$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.4.1.1

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$x^{2} + x + 4 x = - 6$

解题步骤 3.4.1.2

将 $x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{2} + 5 x = - 6$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

解题步骤 3.4.3

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $5$ 。

$2, 3$

解题步骤 3.4.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 2) (x + 3) = 0$

解题步骤 3.4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.4.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 3.4.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3.4.6

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.4.6.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 3.4.7

最终解为使 $(x + 2) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, - 3$

解题步骤 4

排除不能使 $\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ 成立的解。

$无解$

代数 示例

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