代数示例

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

解题步骤 1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

解题步骤 1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

解题步骤 1.3.3

将 $6$ 乘以 $0.125$ 。

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

解题步骤 1.3.4

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

解题步骤 1.3.5

将 $25$ 乘以 $0.25$ 。

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

解题步骤 1.3.6

将 $0.75$ 和 $6.25$ 相加。

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

解题步骤 1.3.7

将 $- 24$ 乘以 $0.5$ 。

$7 - 12 + 5$

解题步骤 1.3.8

从 $7$ 中减去 $12$ 。

$- 5 + 5$

解题步骤 1.3.9

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

解题步骤 1.5

用 $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $6 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $28 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $28 x^{2} - 14 x$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 10 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x + 5$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 x^{2} + 14 x - 5$

解题步骤 1.6

将 $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ 并且它们的和为 $b = 14$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $14 x$ 中分解出因数 $14$ 。

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

解题步骤 2.1.1.2

把 $14$ 重写为 $- 1$ 加 $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$

代数 示例

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