代数示例

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((x - 1) (x + 2)) = 1$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) = 1$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) = 1$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) = 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) = 1$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) = 1$

解题步骤 1.3.2

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ 。

$x^{2} + x - 2 = e$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $e$ 。

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = - 2 - e$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.3

运用分配律。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.1.6

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$ 成立的解。

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

小数形式：

$x = 1.72896429 \dots$

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