代数示例

$2 \cos^{2} (θ) = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$2 \cos^{2} (θ) - 2 = \sin (θ)$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $\sin (θ)$ 。

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ) = 0$

解题步骤 2

化简 $2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $2 \cos^{2} (θ)$ 和 $- 2$ 重新排序。

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.3

从 $2 \cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.4

从 $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ))$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.5

使用勾股恒等式。

$- 2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

解题步骤 3

求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使 $u = \sin (θ)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (θ)$ 。

$- 2 u^{2} - u = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- 2 u^{2} - u$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

从 $- 2 u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- 2 u) - u = 0$

解题步骤 3.1.2.2

从 $- u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.1.2.3

从 $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (- 2 u - 1) = 0$

解题步骤 3.1.3

使用 $\sin (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 3.3

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $θ$ 的 $\sin (θ) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (0)$

解题步骤 3.3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 3.3.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - 0$

解题步骤 3.3.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$θ = π$

解题步骤 3.3.2.5

求 $\sin (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.3.2.6

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4

将 $- 2 \sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $- 2 \sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $θ$ 的 $- 2 \sin (θ) - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 \sin (θ) = 1$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- 2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 3.4.2.2.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 3.4.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 3.4.2.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$θ = - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.4.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 3.4.2.6

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 3.4.2.6.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 3.4.2.7

求 $\sin (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.4.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 3.4.2.8.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.4.2.8.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.8.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.4.2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 3.4.2.8.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.8.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 3.4.2.8.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 3.4.2.8.5

列出新角。

$θ = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 3.4.2.9

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5

最终解为使 $\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$θ = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

代数示例