代数示例

$f (x) = \frac{(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 1

对 $(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 1.1.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 1.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 1.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

解题步骤 1.2.3

重写多项式。

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 1.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 2

对 $(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1^{2}) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

解题步骤 2.3

因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $10 x^{3} - 15 x$ 中分解出因数 $5 x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $10 x^{3}$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) - 15 x)}$

解题步骤 2.3.1.2

从 $- 15 x$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3))}$

解题步骤 2.3.1.3

从 $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3)$ 中分解出因数 $5 x$ 。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2} - 3))}$

解题步骤 2.3.2

去掉多余的括号。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

解题步骤 3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

解题步骤 4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

解题步骤 5

将 $5$ 移到 $x - 1$ 的左侧。

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 \cdot ((x - 1) (2 x^{2} - 3))}$

解题步骤 6

将 $5$ 乘以 $x - 1$ 。

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$

解题步骤 7

要求图像中的空心点，请考虑被约去的分母因数。

$x + 1, x$

解题步骤 8

要求空心点的坐标，请将每个被约去的因数设为等于 $0$ 并求解，然后代回到 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ 中。

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解题步骤 8.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 8.3

代入 $- 1$ 替换 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ 中的 $x$ 并化简。

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解题步骤 8.3.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 以求空心点的 $y$ 坐标。

$\frac{{(- 1 - 4)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.2.1.1

从 $- 1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{{(- 5)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

解题步骤 8.3.2.1.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

解题步骤 8.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{25}{5 \cdot - 2 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

解题步骤 8.3.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{25}{- 10 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

解题步骤 8.3.2.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25}{- 10 (2 \cdot 1 - 3)}$

解题步骤 8.3.2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25}{- 10 (2 - 3)}$

解题步骤 8.3.2.2.5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{25}{- 10 \cdot - 1}$

解题步骤 8.3.2.3

将 $- 10$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{25}{10}$

解题步骤 8.3.2.4

约去 $25$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.4.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (5)}{10}$

解题步骤 8.3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.4.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 8.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8.5

代入 $0$ 替换 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ 中的 $x$ 并化简。

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解题步骤 8.5.1

代入 $0$ 替换 $x$ 以求空心点的 $y$ 坐标。

$\frac{{(0 - 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

解题步骤 8.5.2

化简。

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解题步骤 8.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.5.2.1.1

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{{(- 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

解题步骤 8.5.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

解题步骤 8.5.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.5.2.2.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{16}{5 \cdot - 1 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

解题步骤 8.5.2.2.2

合并指数。

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解题步骤 8.5.2.2.2.1

提取负因数。

$\frac{16}{- (5 (2 \cdot 0^{2} - 3))}$

解题步骤 8.5.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

解题步骤 8.5.2.2.3

化简每一项。

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解题步骤 8.5.2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0 - 3)}$

解题步骤 8.5.2.2.3.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16}{- 5 (0 - 3)}$

解题步骤 8.5.2.2.4

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{16}{- 5 \cdot - 3}$

解题步骤 8.5.2.3

将 $- 5$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{16}{15}$

解题步骤 8.6

图像中的空心点是指被约去的因式等于 $0$ 的点。

$(- 1, \frac{5}{2}), (0, \frac{16}{15})$

解题步骤 9

代数 示例

代数示例