代数示例

$V (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $V (r)$ 的不定积分, 可以求函数 $6 (r)$ 。

$6 (r) = \int V (r) d r$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\int \frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3} d r$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{π \cdot 4}{3}$ 和 $r^{3}$ 。

$\int \frac{π \cdot 4 r^{3}}{3} d r$

解题步骤 2.3

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\int \frac{4 π r^{3}}{3} d r$

解题步骤 3

由于 $\frac{4 π}{3}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{4 π}{3}$ 移到积分外。

$\frac{4 π}{3} \int r^{3} d r$

解题步骤 4

根据幂法则， $r^{3}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{4} r^{4}$ 。

$\frac{4 π}{3} (\frac{1}{4} r^{4} + C)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{4 π}{3} (\frac{1}{4} r^{4} + C)$ 重写为 $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} r^{4} + C$ 。

$\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} r^{4} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4 π}{3 \cdot 4} r^{4} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 π}{12} r^{4} + C$

解题步骤 5.2.3

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $4 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (π)}{12} r^{4} + C$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 π}{4 \cdot 3} r^{4} + C$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 π}{4 \cdot 3} r^{4} + C$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{3} r^{4} + C$

解题步骤 6

函数 $6$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$6 (r) = \frac{π}{3} r^{4} + C$

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