代数示例

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

解题步骤 1.1.2

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\log_{5} (405)$ 。

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

解题步骤 1.1.3

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\log_{5} (5)$ 。

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

解题步骤 2

将 $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ 中的每一项乘以 $4$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ 中的每一项乘以 $4$ 。

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

将 $4$ 移到 $\log_{5} (3 k + 12)$ 的左侧。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1

约去公因数。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.2

重写表达式。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2.3

重写表达式。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \log_{5} (3 k + 12)$ 。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \log_{5} (405)$ 。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

解题步骤 4.1.2

对 $405$ 进行 $3$ 次方运算。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

解题步骤 4.1.3

$5$ 的对数底 $5$ 的值为 $1$ 。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

解题步骤 5

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

解题步骤 6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

从 $3 k + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $3 k$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

解题步骤 7.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

解题步骤 7.1.3

从 $3 k + 3 \cdot 4$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

解题步骤 7.2

对 $3 (k + 4)$ 运用乘积法则。

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

解题步骤 7.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

解题步骤 8

约去 $81$ 和 $66430125$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $81 {(k + 4)}^{4}$ 中分解出因数 $81$ 。

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

解题步骤 8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $66430125$ 中分解出因数 $81$ 。

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

解题步骤 8.2.3

重写表达式。

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

解题步骤 9

使用对数的定义将 $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

解题步骤 10

求解 $k$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ 。

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

解题步骤 10.2

等式两边同时乘以 $820125$ 。

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

解题步骤 10.3

化简方程的两边。

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解题步骤 10.3.1

化简左边。

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解题步骤 10.3.1.1

约去 $820125$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1.1.1

约去公因数。

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

解题步骤 10.3.1.1.2

重写表达式。

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

解题步骤 10.3.2

化简右边。

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解题步骤 10.3.2.1

化简 $820125 \cdot 5^{- 3}$ 。

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解题步骤 10.3.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

解题步骤 10.3.2.1.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

解题步骤 10.3.2.1.3

约去 $125$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1.3.1

从 $820125$ 中分解出因数 $125$ 。

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

解题步骤 10.3.2.1.3.2

约去公因数。

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

解题步骤 10.3.2.1.3.3

重写表达式。

${(k + 4)}^{4} = 6561$

解题步骤 10.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

解题步骤 10.5

化简 $\pm \sqrt[4]{6561}$ 。

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解题步骤 10.5.1

将 $6561$ 重写为 $9^{4}$ 。

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

解题步骤 10.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$k + 4 = \pm 9$

解题步骤 10.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 10.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$k + 4 = 9$

解题步骤 10.6.2

将所有不包含 $k$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.6.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$k = 9 - 4$

解题步骤 10.6.2.2

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$k = 5$

解题步骤 10.6.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$k + 4 = - 9$

解题步骤 10.6.4

将所有不包含 $k$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.6.4.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$k = - 9 - 4$

解题步骤 10.6.4.2

从 $- 9$ 中减去 $4$ 。

$k = - 13$

解题步骤 10.6.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$k = 5, - 13$

解题步骤 11

排除不能使 $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ 成立的解。

$k = 5$

代数 示例

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