代数示例

$x - y = 9$ $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

解题步骤 1

画出 $x - y = 9$ 的图像。

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解题步骤 1.1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- y = 9 - x$

解题步骤 1.1.2

将 $- y = 9 - x$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $- y = 9 - x$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{9}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

用 $9$ 除以 $- 1$ 。

$y = - 9 + \frac{- x}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y = - 9 + \frac{x}{1}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y = - 9 + x$

解题步骤 1.2

重写为斜截式。

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解题步骤 1.2.1

斜截式为 $y = m x + b$ ，其中 $m$ 是斜率， $b$ 是 y 轴截距。

$y = m x + b$

解题步骤 1.2.2

将 $- 9$ 和 $x$ 重新排序。

$y = x - 9$

解题步骤 1.3

使用斜截式求斜率和 y 轴截距。

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解题步骤 1.3.1

使用 $y = m x + b$ 式求 $m$ 和 $b$ 的值。

$m = 1$

$b = - 9$

解题步骤 1.3.2

直线斜率为 $m$ 的值，y 轴截距为 $b$ 的值。

斜率： $1$

y 轴截距： $(0, - 9)$

斜率： $1$

y 轴截距： $(0, - 9)$

解题步骤 1.4

任何直线都以使用两点画出其图像。选择两个 $x$ 值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值。

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解题步骤 1.4.1

将 $- 9$ 和 $x$ 重新排序。

$y = x - 9$

解题步骤 1.4.2

建立 $x$ 值和 $y$ 值的表格。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 8 \end{array}$

解题步骤 1.5

使用斜率、Y 轴截距或点来绘制线的图象。

斜率： $1$

y 轴截距： $(0, - 9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 8 \end{array}$

斜率： $1$

y 轴截距： $(0, - 9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 8 \end{array}$

解题步骤 2

确定圆锥曲线 $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ 的性质。

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解题步骤 2.1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 y^{2} - 24 y$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

解题步骤 2.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

约去 $- 24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 12}{3}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$d = - 4$

解题步骤 2.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = 0 - \frac{576}{12}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.3

用 $576$ 除以 $12$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 48$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$e = 0 - 48$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $48$ 。

$e = - 48$

解题步骤 2.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ 。

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

解题步骤 2.1.2

在方程 $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ 中，用 $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ 代替 $3 y^{2} - 24 y$ 。

$7 x^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = 139$

解题步骤 2.1.3

通过在等式两边同时加上 $48$ 的方法来将 $- 48$ 移到等式右边。

$7 x^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 139 + 48$

解题步骤 2.1.4

将 $139$ 和 $48$ 相加。

$7 x^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 187$

解题步骤 2.1.5

将每一项除以 $187$ 以使方程右边等于一。

$\frac{7 x^{2}}{187} + \frac{3 {(y - 4)}^{2}}{187} = \frac{187}{187}$

解题步骤 2.1.6

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{\frac{187}{7}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{\frac{187}{3}} = 1$

解题步骤 2.2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 2.3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = \frac{\sqrt{561}}{3}$

$b = \frac{\sqrt{1309}}{7}$

$k = 4$

$h = 0$

解题步骤 2.4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 4)$

解题步骤 2.5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{561}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

化简。

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解题步骤 2.5.3.1

对 $\frac{\sqrt{561}}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{561}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2

将 ${\sqrt{561}}^{2}$ 重写为 $561$ 。

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解题步骤 2.5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{561}$ 重写成 $561^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(561^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{561^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{561^{1}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{561}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{561}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.4

约去 $561$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.4.1

从 $561$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{3 (187)}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.3.4.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{187}{3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.5

对 $\frac{\sqrt{1309}}{7}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{\sqrt{1309}}^{2}}{7^{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6

将 ${\sqrt{1309}}^{2}$ 重写为 $1309$ 。

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解题步骤 2.5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1309}$ 重写成 $1309^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{(1309^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{1}}{7^{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{7^{2}}}$

解题步骤 2.5.3.7

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{49}}$

解题步骤 2.5.3.8

约去 $1309$ 和 $49$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.8.1

从 $1309$ 中分解出因数 $7$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 (187)}{49}}$

解题步骤 2.5.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.3.8.2.1

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}}$

解题步骤 2.5.3.8.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}}$

解题步骤 2.5.3.8.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{187}{7}}$

解题步骤 2.5.3.9

要将 $\frac{187}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7}}$

解题步骤 2.5.3.10

要将 $- \frac{187}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 2.5.3.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $21$ 的形式。

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解题步骤 2.5.3.11.1

将 $\frac{187}{3}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 2.5.3.11.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 2.5.3.11.3

将 $\frac{187}{7}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{7 \cdot 3}}$

解题步骤 2.5.3.11.4

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{21}}$

解题步骤 2.5.3.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7 - 187 \cdot 3}{21}}$

解题步骤 2.5.3.13

化简分子。

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解题步骤 2.5.3.13.1

将 $187$ 乘以 $7$ 。

$\sqrt{\frac{1309 - 187 \cdot 3}{21}}$

解题步骤 2.5.3.13.2

将 $- 187$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{1309 - 561}{21}}$

解题步骤 2.5.3.13.3

从 $1309$ 中减去 $561$ 。

$\sqrt{\frac{748}{21}}$

解题步骤 2.5.3.14

将 $\sqrt{\frac{748}{21}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}}$ 。

$\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 2.5.3.15

化简分子。

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解题步骤 2.5.3.15.1

将 $748$ 重写为 $2^{2} \cdot 187$ 。

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解题步骤 2.5.3.15.1.1

从 $748$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (187)}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 2.5.3.15.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 187}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 2.5.3.15.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 2.5.3.16

将 $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

解题步骤 2.5.3.17

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.3.17.1

将 $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

解题步骤 2.5.3.17.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

解题步骤 2.5.3.17.3

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

解题步骤 2.5.3.17.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.3.17.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.17.6

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 2.5.3.17.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.17.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.3.17.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.3.17.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.17.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.3.17.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{1}}$

解题步骤 2.5.3.17.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21}$

解题步骤 2.5.3.18

化简分子。

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解题步骤 2.5.3.18.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt{21 \cdot 187}}{21}$

解题步骤 2.5.3.18.2

将 $21$ 乘以 $187$ 。

$\frac{2 \sqrt{3927}}{21}$

解题步骤 2.6

求顶点。

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解题步骤 2.6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

解题步骤 2.6.3

椭圆的第二个顶点可通过让 $k$ 减去 $a$ 求出。

$(h, k - a)$

解题步骤 2.6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 4 - (\frac{\sqrt{561}}{3}))$

解题步骤 2.6.5

化简。

$(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

解题步骤 2.6.6

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

解题步骤 2.7

求焦点。

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解题步骤 2.7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 2.7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

解题步骤 2.7.3

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 2.7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 4 - (\frac{2 \sqrt{3927}}{21}))$

解题步骤 2.7.5

化简。

$(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

解题步骤 2.7.6

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

解题步骤 2.8

求离心率。

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解题步骤 2.8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 2.8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{561}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}}}{\frac{\sqrt{561}}{3}}$

解题步骤 2.8.3

化简。

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解题步骤 2.8.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{561}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.2

对 $\frac{\sqrt{561}}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{561}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.3

将 ${\sqrt{561}}^{2}$ 重写为 $561$ 。

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解题步骤 2.8.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{561}$ 重写成 $561^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(561^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{561^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.3.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{561^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.3.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{561^{1}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.3.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{561}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{561}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.5

约去 $561$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.5.1

从 $561$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{3 (187)}{9} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.3.5.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.5.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 187}{3 \cdot 3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.5.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{187}{3} - {(\frac{\sqrt{1309}}{7})}^{2}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.6

对 $\frac{\sqrt{1309}}{7}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{\sqrt{1309}}^{2}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.7

将 ${\sqrt{1309}}^{2}$ 重写为 $1309$ 。

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解题步骤 2.8.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1309}$ 重写成 $1309^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{{(1309^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{\frac{2}{2}}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309^{1}}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.7.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{7^{2}}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.8

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{1309}{49}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.9

约去 $1309$ 和 $49$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.9.1

从 $1309$ 中分解出因数 $7$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 (187)}{49}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.3.9.2.1

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.9.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{7 \cdot 187}{7 \cdot 7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.9.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{187}{3} - \frac{187}{7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.10

要将 $\frac{187}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.11

要将 $- \frac{187}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{187}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $21$ 的形式。

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解题步骤 2.8.3.12.1

将 $\frac{187}{3}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.12.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187}{7} \cdot \frac{3}{3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.12.3

将 $\frac{187}{7}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{7 \cdot 3}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.12.4

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7}{21} - \frac{187 \cdot 3}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.13

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{187 \cdot 7 - 187 \cdot 3}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.14

化简分子。

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解题步骤 2.8.3.14.1

将 $187$ 乘以 $7$ 。

$\sqrt{\frac{1309 - 187 \cdot 3}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.14.2

将 $- 187$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{1309 - 561}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.14.3

从 $1309$ 中减去 $561$ 。

$\sqrt{\frac{748}{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.15

将 $\sqrt{\frac{748}{21}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}}$ 。

$\frac{\sqrt{748}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.16

化简分子。

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解题步骤 2.8.3.16.1

将 $748$ 重写为 $2^{2} \cdot 187$ 。

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解题步骤 2.8.3.16.1.1

从 $748$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (187)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.16.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.16.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.17

将 $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18

合并和化简分母。

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解题步骤 2.8.3.18.1

将 $\frac{2 \sqrt{187}}{\sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.3

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.6

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 2.8.3.18.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.18.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21^{1}} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.18.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{21} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.19

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.19.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{3 (7)} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.19.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{3 \cdot 7} \cdot \frac{3}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.19.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{187} \sqrt{21}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.20

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt{21 \cdot 187}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.21

将 $21$ 乘以 $187$ 。

$\frac{2 \sqrt{3927}}{7} \cdot \frac{1}{\sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.22

将 $\frac{2 \sqrt{3927}}{7}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{561}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3927}}{7 \sqrt{561}}$

解题步骤 2.8.3.23

把 $\sqrt{3927}$ 和 $\sqrt{561}$ 组合为一个单根式。

$\frac{2 \sqrt{\frac{3927}{561}}}{7}$

解题步骤 2.8.3.24

约去 $3927$ 和 $561$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.24.1

从 $3927$ 中分解出因数 $561$ 。

$\frac{2 \sqrt{\frac{561 \cdot 7}{561}}}{7}$

解题步骤 2.8.3.24.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.3.24.2.1

从 $561$ 中分解出因数 $561$ 。

$\frac{2 \sqrt{\frac{561 \cdot 7}{561 (1)}}}{7}$

解题步骤 2.8.3.24.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{\frac{561 \cdot 7}{561 \cdot 1}}}{7}$

解题步骤 2.8.3.24.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{\frac{7}{1}}}{7}$

解题步骤 2.8.3.24.2.4

用 $7$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 2.9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

离心率： $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

中心点： $(0, 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{\sqrt{561}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4 + \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 4 - \frac{2 \sqrt{3927}}{21})$

离心率： $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 3

在同一坐标系上绘制出每一个图像。

$x - y = 9$

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

解题步骤 4

代数 示例

代数示例