代数示例

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}}{\frac{14 x^{2} - 22 x - 12}{x^{2} - 25}}$

解题步骤 1

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 25}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 5^{2}}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

从 $14 x^{2} - 22 x - 12$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $14 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) - 22 x - 12}$

解题步骤 3.1.2

从 $- 22 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) - 12}$

解题步骤 3.1.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (- 6)}$

解题步骤 3.1.4

从 $2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)}$

解题步骤 3.1.5

从 $2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x - 6)}$

解题步骤 3.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ 并且它们的和为 $b = - 11$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $- 11 x$ 中分解出因数 $- 11$ 。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 (x) - 6)}$

解题步骤 3.2.1.2

把 $- 11$ 重写为 $3$ 加 $- 14$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + (3 - 14) x - 6)}$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + 3 x - 14 x - 6)}$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x^{2} + 3 x) - 14 x - 6)}$

解题步骤 3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x (7 x + 3) - 2 (7 x + 3))}$

解题步骤 3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $7 x + 3$ 来因式分解多项式。

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x + 3) (x - 2))}$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2} + 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(\frac{3}{x \cdot x + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 4.1.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(\frac{3}{x \cdot x + x \cdot 5} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 4.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 4.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 6 x + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $6$ 。

$1, 5$

解题步骤 4.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 5

要将 $\frac{3}{x (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 6

要将 $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x + 5) (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{3}{x (x + 5)}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 7.3

重新排序 $x (x + 5) (x + 1)$ 的因式。

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 7.4

重新排序 $(x + 1) (x + 5) x$ 的因式。

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{x (x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (x + 1) + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 9.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x + 3 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 9.3

将 $3 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

约去 $7 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

从 $2 (7 x + 3) (x - 2)$ 中分解出因数 $7 x + 3$ 。

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

解题步骤 10.1.2

约去公因数。

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

解题步骤 10.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

解题步骤 10.2

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

从 $x (x + 1) (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

解题步骤 10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 5}{2 (x - 2)}$

解题步骤 10.3

将 $\frac{1}{x (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x - 5}{2 (x - 2)}$ 。

$\frac{x - 5}{x (x + 1) (2 (x - 2))}$

解题步骤 10.4

将 $2$ 移到 $x (x + 1)$ 的左侧。

$\frac{x - 5}{2 x (x + 1) (x - 2)}$

代数 示例

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