代数示例

$\log (x - 5) - \log (1 - x) = \frac{1}{3}$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{x - 5}{1 - x}) = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

利用对数的定义将 $\log (\frac{x - 5}{1 - x}) = \frac{1}{3}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{\frac{1}{3}} = \frac{x - 5}{1 - x}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} (1 - x)$

解题步骤 4

化简 $10^{\frac{1}{3}} (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $10^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$

解题步骤 4.2.2

将 $10^{\frac{1}{3}} + 10^{\frac{1}{3}} (- x)$ 中的因式重新排序。

$x - 5 = 10^{\frac{1}{3}} - x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5

在等式两边都加上 $x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ 。

$x - 5 + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6

在等式两边都加上 $5$ 。

$x + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

解题步骤 7

从 $x + x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 + x \cdot 10^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

解题步骤 7.2

从 $x \cdot 10^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 + x (10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

解题步骤 7.3

从 $x \cdot 1 + x (10^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$

解题步骤 8

将 $x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$ 中的每一项除以 $1 + 10^{\frac{1}{3}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $x (1 + 10^{\frac{1}{3}}) = 10^{\frac{1}{3}} + 5$ 中的每一项都除以 $1 + 10^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{x (1 + 10^{\frac{1}{3}})}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$\frac{x (1 + 10^{\frac{1}{3}})}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 8.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{10^{\frac{1}{3}}}{1 + 10^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{10^{\frac{1}{3}} + 5}{1 + 10^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 9

排除不能使 $\log (x - 5) - \log (1 - x) = \frac{1}{3}$ 成立的解。

$无解$

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