代数示例

$\frac{- 3 (m^{2} - n^{2})}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = m$ 和 $b = n$ 。

$\frac{- 3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(3 (m + n)) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ 。

$- (\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}) + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ 。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} {\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1 + 1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}$ 重写为 $n^{2} + m^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 重写成 ${(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{({(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 1.4.6.5

化简。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 2

要将 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n^{2} + m^{2}}{n^{2} + m^{2}}$ 。

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

从 $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.1.2

从 $\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} ((- 3 m - 3 n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 m - 3 n) (m - n)$ 。

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解题步骤 4.3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m (m - n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

通过指数相加将 $m$ 乘以 $m$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1

移动 $m$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m \cdot m) - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.1.1.2

将 $m$ 乘以 $m$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 \cdot - 1 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n \cdot n + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.1.5

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 4.4.1.5.1

移动 $n$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 (n \cdot n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.1.5.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.2

从 $3 m n$ 中减去 $3 n m$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

移动 $n$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 m n + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.2.2

从 $3 m n$ 中减去 $3 m n$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 0 + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.4.3

将 $- 3 m^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $- 3 m^{2}$ 和 $m^{2}$ 相加。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $3 n^{2}$ 和 $n^{2}$ 相加。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.7

从 $- 2 m^{2} + 4 n^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.7.1

从 $- 2 m^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.7.2

从 $4 n^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 4.7.3

从 $2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2} + 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \cdot 2 (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 5.2

从 $- m^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 5.3

从 $2 n^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) - (- 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 5.4

从 $- (m^{2}) - (- 2 n^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $- (m^{2} - 2 n^{2})$ 重写为 $- 1 (m^{2} - 2 n^{2})$ 。

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 1 (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 5.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

解题步骤 5.5.3

将 $- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

代数 示例

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