代数示例

$\frac{x^{2 - 36}}{x - 6} \leq 0$

解题步骤 1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x^{2 - 36} = 0$

$x - 6 = 0$

解题步骤 2

化简 $x^{2 - 36}$ 。

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解题步骤 2.1

从 $2$ 中减去 $36$ 。

$x^{- 34} = 0$

解题步骤 2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{34}} = 0$

$\frac{1}{x^{34}} = 0$

解题步骤 3

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 4

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 5

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 6

求 $\frac{x^{2 - 36}}{x - 6}$ 的定义域。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x^{2 - 36}}{x - 6}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 6 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 6.3

将 $x^{2 - 36}$ 的底数设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 6.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 7

使用每一个根建立验证区间。

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

解题步骤 8

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 8.1

检验区间 $x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 8.1.1

选择区间 $x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 8.1.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 2)}^{2 - 36}}{(- 2) - 6} \leq 0$

解题步骤 8.1.3

左边的 $- 7.27595761 E - 12$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

真

解题步骤 8.2

检验区间 $0 < x < 6$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 8.2.1

选择区间 $0 < x < 6$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 3$

解题步骤 8.2.2

使用原不等式中的 $3$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(3)}^{2 - 36}}{(3) - 6} \leq 0$

解题步骤 8.2.3

左边的 $- 1.99873899 E - 17$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

真

解题步骤 8.3

检验区间 $x > 6$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 8.3.1

选择区间 $x > 6$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 8$

解题步骤 8.3.2

使用原不等式中的 $8$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(8)}^{2 - 36}}{(8) - 6} \leq 0$

解题步骤 8.3.3

左边的 $9.86076131 E - 32$ 等于右边的 $0$ ，即给定的命题总为真命题。

真

真

解题步骤 8.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < 0$ 为真

$0 < x < 6$ 为真

$x > 6$ 为真

$x < 0$ 为真

$0 < x < 6$ 为真

$x > 6$ 为真

解题步骤 9

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < 0$ 或 $0 < x < 6$ 或 $x > 6$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x < 0 or 0 < x < 6 or x > 6$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 11

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$