代数示例

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x + 1) (x + 5) {(x + 2)}^{3}$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ 乘以 $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x (x + 2) (x + 5) ((x + 1) {(x + 2)}^{2})}$

解题步骤 3.3

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x ({(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{1}) (x + 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{2 + 1} (x + 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)}$

解题步骤 3.6

重新排序 $x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)$ 的因式。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5

以因式分解的形式重写 $\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ 。

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解题步骤 5.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)$ 。

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.2.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.3

将 $5 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.4

将 $15 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1 \cdot 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.7

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) ((x + 2) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.8

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.8.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.8.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.8.3

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.9.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.9.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.9.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.9.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x \cdot x^{2} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.11.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.11.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x^{1}) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{2 + 1} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.11.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.6

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.11.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.12

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 4 x - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.13

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.14

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 + 0 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.15

将 $8 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.16

从 $8 x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} + 17 x + 10 - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.17

从 $17 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 10 - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.18

从 $10$ 中减去 $4$ 。

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.19

以因式分解的形式重写 $3 x^{2} + 9 x + 6$ 。

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解题步骤 5.19.1

从 $3 x^{2} + 9 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.19.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2}) + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.19.1.2

从 $9 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (3 x) + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.19.1.3

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x^{2} + 3 (3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.19.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (3 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.19.1.5

从 $3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.19.2

因数。

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解题步骤 5.19.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.19.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 5.19.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 ((x + 1) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.19.2.2

去掉多余的括号。

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.20

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ 。

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解题步骤 5.20.1

约去公因数。

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

解题步骤 5.20.2

重写表达式。

$\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

解题步骤 6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$ 。

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解题步骤 6.1

从 $3 (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

解题步骤 6.2

从 $x {(x + 2)}^{3} (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

解题步骤 6.3

约去公因数。

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

解题步骤 6.4

重写表达式。

$\frac{3}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

代数 示例

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