代数示例

$3^{2 x} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

解题步骤 1

将 $3^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(3^{x})}^{2} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $3^{x}$ 。

$u^{2} - 5 u = - 6$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

解题步骤 3.2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 5 u + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u - 2) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 3.5

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(u - 3) (u - 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = 3, 2$

解题步骤 4

代入 $3$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$3 = 3^{x}$

解题步骤 5

求解 $3 = 3^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $3^{x} = 3$ 。

$3^{x} = 3$

解题步骤 5.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{1}$

解题步骤 5.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 1$

解题步骤 6

代入 $2$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$2 = 3^{x}$

解题步骤 7

求解 $2 = 3^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $3^{x} = 2$ 。

$3^{x} = 2$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (2)$

解题步骤 7.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$x \ln (3) = \ln (2)$

解题步骤 7.4

将 $x \ln (3) = \ln (2)$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $x \ln (3) = \ln (2)$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 7.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 7.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 8

列出使方程成立的解。

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

小数形式：

$x = 1, 0.63092975 \dots$

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