代数示例

$2 x^{6} - 10 x^{4} - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 1

从 $2 x^{6} - 10 x^{4} - 48 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

从 $2 x^{6}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{4}) - 10 x^{4} - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2

从 $- 10 x^{4}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{4}) + 2 x^{2} (- 5 x^{2}) - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 1.3

从 $- 48 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{4}) + 2 x^{2} (- 5 x^{2}) + 2 x^{2} (- 24) = 0$

解题步骤 1.4

从 $2 x^{2} (x^{4}) + 2 x^{2} (- 5 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{4} - 5 x^{2}) + 2 x^{2} (- 24) = 0$

解题步骤 1.5

从 $2 x^{2} (x^{4} - 5 x^{2}) + 2 x^{2} (- 24)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{4} - 5 x^{2} - 24) = 0$

解题步骤 2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$2 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 24) = 0$

解题步骤 3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$2 x^{2} (u^{2} - 5 u - 24) = 0$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 5 u - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $- 5$ 。

$- 8, 3$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 x^{2} ((u - 8) (u + 3)) = 0$

解题步骤 5

因数。

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解题步骤 5.1

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x^{2} ((x^{2} - 8) (x^{2} + 3)) = 0$

解题步骤 5.2

去掉多余的括号。

$2 x^{2} (x^{2} - 8) (x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 8 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 7

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 7.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

将 $x^{2} - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2} - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 8 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$x^{2} = 8$

解题步骤 8.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{8}$

解题步骤 8.2.3

化简 $\pm \sqrt{8}$ 。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 8.2.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 8.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 9

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 9.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} = - 3$

解题步骤 9.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 9.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 9.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 9.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{3}$

解题步骤 9.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{3}$

解题步骤 9.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 10

最终解为使 $2 x^{2} (x^{2} - 8) (x^{2} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

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