代数示例

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

解题步骤 1

约去 $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5}$ 和 $2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 4 \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.2

从 $4 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (2 \sqrt{5})}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3}) - 4 \sqrt{5}}$

解题步骤 1.4.2

从 $- 4 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 2 \sqrt{5})}$

解题步骤 1.4.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3} - 2 \sqrt{5})}$

解题步骤 1.4.4

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3} - 2 \sqrt{5})}$

解题步骤 1.4.5

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$

解题步骤 2

将 $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}$

解题步骤 3

合并分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}$ 。

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{{\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{15} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

对 $\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 4.2

对 $\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1}}{- 17}$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 17}$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{2}}{- 17}$

解题步骤 5

将 ${(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$ 。

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 6

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.5

乘以 $\sqrt{3} (2 \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 7.1.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 \cdot 5} + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.5.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.6

乘以 $2 \sqrt{5} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 7.1.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{3 \cdot 5} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.6.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.7

乘以 $2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 7.1.7.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 17}$

解题步骤 7.1.7.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{- 17}$

解题步骤 7.1.7.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{- 17}$

解题步骤 7.1.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{- 17}$

解题步骤 7.1.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{2}}{- 17}$

解题步骤 7.1.8

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 7.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 17}$

解题步骤 7.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 17}$

解题步骤 7.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{- 17}$

解题步骤 7.1.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.8.4.1

约去公因数。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{- 17}$

解题步骤 7.1.8.4.2

重写表达式。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{1}}{- 17}$

解题步骤 7.1.8.5

计算指数。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5}{- 17}$

解题步骤 7.1.9

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 20}{- 17}$

解题步骤 7.2

将 $3$ 和 $20$ 相加。

$\frac{23 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15}}{- 17}$

解题步骤 7.3

将 $2 \sqrt{15}$ 和 $2 \sqrt{15}$ 相加。

$\frac{23 + 4 \sqrt{15}}{- 17}$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{23 + 4 \sqrt{15}}{17}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{23 + 4 \sqrt{15}}{17}$

小数形式：

$- 2.26423137 \dots$

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