代数示例

$f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$ 。

$\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$ 重写成 ${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- \frac{y}{2})}^{1} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$- \frac{y}{2} = x^{3}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 x^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $- 2 (- \frac{y}{2})$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

将 $- \frac{y}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.4

重写表达式。

$- - y = - 2 x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

乘。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - 2 x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - 2 x^{3}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})}^{3}$

解题步骤 5.2.3

将 $- \frac{x}{2}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

解题步骤 5.2.4

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

解题步骤 5.2.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

解题步骤 5.2.6

将 $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}})}^{3}$

解题步骤 5.2.7

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))}^{3}$

解题步骤 5.2.8

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.2

对 $\sqrt[3]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.5

将 ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.8.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.5.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.5.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

解题步骤 5.2.8.5.5

计算指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

解题步骤 5.2.9

化简分子。

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解题步骤 5.2.9.1

将 ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{2^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})}^{3}$

解题步骤 5.2.9.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2})}^{3}$

解题步骤 5.2.10

使用根数乘积法则进行合并。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3}$

解题步骤 5.2.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.11.1

对 $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3})$

解题步骤 5.2.11.2

对 $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}}))$

解题步骤 5.2.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.13

化简分子。

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解题步骤 5.2.13.1

将 ${\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}$ 重写为 $x \cdot 4$ 。

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解题步骤 5.2.13.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x \cdot 4}$ 重写成 ${(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{({(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.13.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.13.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.13.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.13.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.13.1.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.13.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

解题步骤 5.2.14

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.14.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{8})$

解题步骤 5.2.14.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.14.2.1

将 $- \frac{4 x}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 \frac{- 4 x}{8}$

解题步骤 5.2.14.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 x}{8})$

解题步骤 5.2.14.2.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

解题步骤 5.2.14.2.4

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

解题步骤 5.2.14.2.5

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- 4 x}{4}$

解题步骤 5.2.14.3

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.14.3.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4}$

解题步骤 5.2.14.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.14.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

解题步骤 5.2.14.3.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.14.3.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- x}{1}$

解题步骤 5.2.14.3.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 (- x)$

解题步骤 5.2.15

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 5.2.15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 1 x$

解题步骤 5.2.15.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- 2 x^{3})$ 。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- 2 x^{3}}{2}}$

解题步骤 5.3.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- 2 x^{3}}{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2}}$

解题步骤 5.3.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 (1)}}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去公因数。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 5.3.3.1.4

重写表达式。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- x^{3}}{1}}$

解题步骤 5.3.3.2

用 $- x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

解题步骤 5.3.4

合并指数。

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解题步骤 5.3.4.1

提取负因数。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (- 2 x^{3}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

代数 示例

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