代数示例

$f (x) = \log_{3} (\frac{x}{3})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\log_{3} (x) - 1$ 无定义。

$x \leq 0$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 1.3

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 1.4

因为 $Q (x)$ 为 $1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 1.5

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

垂直渐近线： $x = 0$

不存在水平渐近线

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \log_{3} (\frac{1}{3})$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

$\frac{1}{3}$ 的对数底 $3$ 的值为 $- 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

重写为方程。

$\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$

解题步骤 2.2.1.2

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ 不等于 $1$ ，那么 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{x} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.2.1.3

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{- 1}$

解题步骤 2.2.1.4

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = - 1$

解题步骤 2.2.1.5

变量 $x$ 等于 $- 1$ 。

$f (1) = - 1$

解题步骤 2.2.2

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3

把 $- 1$ 转换成小数。

$y = - 1$

解题步骤 3

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \log_{3} (\frac{3}{3})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f (3) = \log_{3} (1)$

解题步骤 3.2.2

$1$ 的对数底 $3$ 的值为 $0$ 。

$f (3) = 0$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.3

把 $0$ 转换成小数。

$y = 0$

解题步骤 4

求在 $x = 9$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f (9) = \log_{3} (\frac{9}{3})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

$\frac{9}{3}$ 的对数底 $3$ 的值为 $1$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

重写为方程。

$\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$

解题步骤 4.2.1.2

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ 不等于 $1$ ，那么 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{x} = \frac{9}{3}$

解题步骤 4.2.1.3

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{1}$

解题步骤 4.2.1.4

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 1$

解题步骤 4.2.1.5

变量 $x$ 等于 $1$ 。

$f (9) = 1$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4.3

把 $1$ 转换成小数。

$y = 1$

解题步骤 5

可以使用 $x = 0$ 处的垂直渐近线和点 $(1, - 1), (3, 0), (9, 1)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}$

解题步骤 6

代数 示例

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