代数示例

$f (x) = - \frac{1}{a} (3 x + 2) (x - 3)$

解题步骤 1

求在何处表达式 $- \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a} + \frac{6}{a}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 0$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

合并。

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解题步骤 6.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x}{a} + \frac{6}{a}$

解题步骤 6.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

解题步骤 6.1.3

分组因式分解。

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解题步骤 6.1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 6 = - 18$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 6.1.3.1.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 7 (x) + 6}{a}$

解题步骤 6.1.3.1.2

把 $7$ 重写为 $- 2$ 加 $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 2 + 9) x + 6}{a}$

解题步骤 6.1.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x + 9 x + 6}{a}$

解题步骤 6.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- 3 x^{2} - 2 x) + 9 x + 6}{a}$

解题步骤 6.1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- 3 x - 2) - 3 (- 3 x - 2)}{a}$

解题步骤 6.1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 x - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- 3 x - 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.1.4

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (3 x) - 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{(- (3 x) - 1 (2)) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.1.6

从 $- (3 x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.1.7

化简表达式。

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解题步骤 6.1.7.1

将 $- (3 x + 2)$ 重写为 $- 1 (3 x + 2)$ 。

$\frac{- 1 (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(3 x + 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.1.8

化简。

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

解题步骤 6.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 6.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 6 = - 18$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 7 (x) + 6}{a}$

解题步骤 6.2.1.1.2

把 $7$ 重写为 $- 2$ 加 $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 2 + 9) x + 6}{a}$

解题步骤 6.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x + 9 x + 6}{a}$

解题步骤 6.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- 3 x^{2} - 2 x) + 9 x + 6}{a}$

解题步骤 6.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- 3 x - 2) - 3 (- 3 x - 2)}{a}$

解题步骤 6.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 x - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- 3 x - 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.2.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (3 x) - 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.2.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{(- (3 x) - 1 (2)) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.2.4

从 $- (3 x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.2.5

化简表达式。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $- (3 x + 2)$ 重写为 $- 1 (3 x + 2)$ 。

$\frac{- 1 (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(3 x + 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.3

展开 $- (3 x + 2) (x - 3)$ 。

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解题步骤 6.3.1

对 $3 x + 2$ 取反。

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\frac{(- (3 x) - 1 \cdot 2) (x - 3)}{a}$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\frac{- 3 x (x - 3) - 1 \cdot (2 (x - 3))}{a}$

解题步骤 6.3.4

运用分配律。

$\frac{- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 (x - 3))}{a}$

解题步骤 6.3.5

运用分配律。

$\frac{- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.6

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.7

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.8

移动 $x$ 。

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 x \cdot x - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 x^{1 + 1} - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.14

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.15

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.17

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x - 2 \cdot - 3}{a}$

解题步骤 6.3.18

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x + 6}{a}$

解题步骤 6.3.19

从 $9 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

解题步骤 6.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$a$

$3 x^{2}$

$7 x$

$6$

解题步骤 6.5

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

		-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
	$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$

解题步骤 6.6

将新的商式项乘以除数。

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	-	$3 x^{2}$

解题步骤 6.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{2}$ 中的所有符号

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$

解题步骤 6.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$

解题步骤 6.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$

解题步骤 6.10

将被除数中的最高阶项 $7 x$ 除以除数中的最高阶项 $a$ 。

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$

解题步骤 6.11

将新的商式项乘以除数。

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			+	$7 x$

解题步骤 6.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x$ 中的所有符号

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$

解题步骤 6.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$
				$0$

解题步骤 6.14

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$
				$0$	+	$6$

解题步骤 6.15

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a} + \frac{6}{a}$

解题步骤 6.16

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a}$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a}$

解题步骤 8

代数 示例

代数示例