代数示例

$y = \sqrt[3]{x - 2} - 4$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sqrt[3]{y - 2} - 4$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{y - 2} - 4 = x$ 。

$\sqrt[3]{y - 2} - 4 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$\sqrt[3]{y - 2} = x + 4$

解题步骤 2.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y - 2}}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y - 2}$ 重写成 ${(y - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 ${({(y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 ${({(y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(y - 2)}^{1} = {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

化简。

$y - 2 = {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简 ${(x + 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

使用二项式定理。

$y - 2 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1.2.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + 4^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 4^{3}$

解题步骤 2.4.3.1.2.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$y - 2 = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

解题步骤 2.5

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.5.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64 + 2$

解题步骤 2.5.2

将 $64$ 和 $2$ 相加。

$y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{x - 2} - 4$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {\sqrt[3]{x - 2}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{x - 2}}^{3}$ 重写为 $x - 2$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 2}$ 重写成 ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 4.2.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = (x - 2) + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.1.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 + 3 {\sqrt[3]{x - 2}}^{2} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 ${\sqrt[3]{x - 2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 + 3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} \cdot - 4 + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.3

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 2} {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.4

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 2} \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.5

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + {(- 4)}^{3} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.2.6

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 2 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 64 + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.3

从 $- 2$ 中减去 $64$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 {(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.4

将 ${(\sqrt[3]{x - 2} - 4)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt[3]{x - 2} - 4) (\sqrt[3]{x - 2} - 4)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 ((\sqrt[3]{x - 2} - 4) (\sqrt[3]{x - 2} - 4)) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.5

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt[3]{x - 2} - 4) (\sqrt[3]{x - 2} - 4)$ 。

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解题步骤 4.2.3.5.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{x - 2} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) - 4 (\sqrt[3]{x - 2} - 4)) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.5.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{x - 2} \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 (\sqrt[3]{x - 2} - 4)) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.5.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{x - 2} \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.6.1.1

乘以 $\sqrt[3]{x - 2} \sqrt[3]{x - 2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.6.1.1.1

对 $\sqrt[3]{x - 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.2.3.6.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x - 2}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.2.3.6.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 ({\sqrt[3]{x - 2}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.6.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 ({\sqrt[3]{x - 2}}^{2} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.6.1.2

将 ${\sqrt[3]{x - 2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 2} \cdot - 4 - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.6.1.3

将 $- 4$ 移到 $\sqrt[3]{x - 2}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 4 \cdot \sqrt[3]{x - 2} - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \cdot - 4) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.6.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 4 \sqrt[3]{x - 2} - 4 \sqrt[3]{x - 2} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.6.2

从 $- 4 \sqrt[3]{x - 2}$ 中减去 $4 \sqrt[3]{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 (\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 8 \sqrt[3]{x - 2} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.7

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 12 (- 8 \sqrt[3]{x - 2}) + 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.8

化简。

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解题步骤 4.2.3.8.1

将 $- 8$ 乘以 $12$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.8.2

将 $12$ 乘以 $16$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 (\sqrt[3]{x - 2} - 4) + 66$

解题步骤 4.2.3.9

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \cdot - 4 + 66$

解题步骤 4.2.3.10

将 $48$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$

解题步骤 4.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.4.1

合并 $x - 66 - 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1.1

将 $- 12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ 和 $12 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 0 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$

解题步骤 4.2.4.1.2

将 $x - 66$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 192 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 192 + 66$

解题步骤 4.2.4.1.3

从 $192$ 中减去 $192$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 0 + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 66$

解题步骤 4.2.4.1.4

将 $x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 66 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2} + 66$

解题步骤 4.2.4.1.5

将 $- 66$ 和 $66$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x + 0 + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$

解题步骤 4.2.4.1.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x + 48 \sqrt[3]{x - 2} - 96 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$

解题步骤 4.2.4.2

从 $48 \sqrt[3]{x - 2}$ 中减去 $96 \sqrt[3]{x - 2}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x - 48 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$

解题步骤 4.2.4.3

合并 $x - 48 \sqrt[3]{x - 2} + 48 \sqrt[3]{x - 2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $- 48 \sqrt[3]{x - 2}$ 和 $48 \sqrt[3]{x - 2}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 2} - 4) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66)$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) - 2} - 4$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $66$ 中减去 $2$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64} - 4$

解题步骤 4.3.3.2

以因式分解的形式重写 $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

重新组合项。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{x^{3} + 64 + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{x^{3} + 4^{3} + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.4

化简。

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解题步骤 4.3.3.2.4.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x^{2} + 48 x} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.5

从 $12 x^{2} + 48 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.5.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 48 x} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.5.2

从 $48 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 12 x (4)} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.5.3

从 $12 x (x) + 12 x (4)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.6

从 $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)$ 中分解出因数 $x + 4$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.6.1

从 $12 x (x + 4)$ 中分解出因数 $x + 4$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.6.2

从 $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)$ 中分解出因数 $x + 4$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16 + 12 x)} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.7

将 $- 4 x$ 和 $12 x$ 相加。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 16)} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.8

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.3.3.2.8.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 4^{2})} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.8.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

解题步骤 4.3.3.2.8.3

重写多项式。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})} - 4$

解题步骤 4.3.3.2.8.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) {(x + 4)}^{2}} - 4$

解题步骤 4.3.3.3

通过指数相加将 $x + 4$ 乘以 ${(x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $x + 4$ 乘以 ${(x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.3.1.1

对 $x + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{(x + 4) {(x + 4)}^{2}} - 4$

解题步骤 4.3.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{{(x + 4)}^{1 + 2}} - 4$

解题步骤 4.3.3.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = \sqrt[3]{{(x + 4)}^{3}} - 4$

解题步骤 4.3.3.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = x + 4 - 4$

解题步骤 4.3.4

合并 $x + 4 - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{x - 2} - 4$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 66$

代数 示例

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