代数示例

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

解题步骤 1.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\log (x)$ 。

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

解题步骤 1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\log (y)$ 。

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

解题步骤 2

将 $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ 中的每一项乘以 $2$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ 中的每一项乘以 $2$ 。

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

将 $2$ 移到 $\log (x + y)$ 的左侧。

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.1.2

重写表达式。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去公因数。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.2.2

重写表达式。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.3

将 $2$ 移到 $\log (2)$ 的左侧。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log (x + y)$ 。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

化简 $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log (2)$ 。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

解题步骤 4.1.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

解题步骤 4.1.3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

解题步骤 4.1.4

将 $4$ 移到 $x y$ 的左侧。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

解题步骤 5

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.1.1

从等式两边同时减去 $4 x y$ 。

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 6.1.2.2.1

运用分配律。

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2.3.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2.3.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 6.1.2.3.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.2.3.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

解题步骤 6.1.3

从 $2 x y$ 中减去 $4 x y$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

解题步骤 6.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 2 y$ 和 $c = y^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ 重写为 ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = - 2 y$ 和 $b = 2 \cdot 1 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3

化简。

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解题步骤 6.4.1.3.1

从 $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 6.4.1.3.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.1.2

从 $2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.1.3

从 $2 y (- 1) + 2 y (1)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.3

合并指数。

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解题步骤 6.4.1.3.3.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.3.2

将 $0$ 乘以 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.4

从 $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.4.1.3.4.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.4.2

从 $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.4.3

从 $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.5

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.4.1.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.5.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.6

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.7

合并指数。

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解题步骤 6.4.1.3.7.1

将 $0$ 乘以 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.3.7.2

将 $0$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.1.6

$2 y$ 加或减 $0$ 是 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 y}{2}$

解题步骤 6.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.1

约去公因数。

$x = \frac{2 y}{2}$

解题步骤 6.4.3.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$x = y$

解题步骤 6.5

最终答案为两个解的组合。

$x = y$ 的二重根

代数 示例

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